A 25 m abaixo da superfície do mar ( \rho=1,03 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ), onde a temperatura é 5{ }^{\circ} \mathrm{C}, um mergulhador exala uma bolha de ar que tem volume de 1 \mathrm{~cm}^{3}.
Supondo que o gás seja composto de 22 \% de oxigênio e 78 \% de nitrogênio (desprezando pequenas quantidades de outros gases), calcule o número de moléculas de cada gás na bolha que atinge a superfície.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
    • Profundidade: h=25\\ \mathrm{m}.
    • Densidade da água do mar: \rho=1,03\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • Temperatura no ponto onde a bolha é exalada: T=5{ }^{\circ}\mathrm{C}.
    • Volume inicial da bolha (no fundo): V_{1}=1\\ \mathrm{cm^{3}}.
    • Composição do ar da bolha: 22\% de oxigénio e 78\% de nitrogénio (por número de moléculas).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o número de moléculas de \mathrm{O}_{2} que a bolha contém quando atinge a superfície.
    • Calcular o número de moléculas de \mathrm{N}_{2} que a bolha contém quando atinge a superfície.

Passo 2

Observações e constantes que vou usar (escolhas padrão, explicitadas para ficar claro):
  • A bolha é um sistema fechado: o número total de moléculas não muda enquanto sobe (não há troca significativa de massa com a água). Portanto basta calcular o número de moléculas já presente na bolha no instante em que foi exalada (no fundo).
  • Conversões e constantes:
    • Converter \rho para unidades SI: \rho=1,03\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1,03\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}=1030\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Volume inicial: V_{1}=1\\ \mathrm{cm^{3}}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
    • Temperatura em kelvin: T=5{ }^{\circ}\mathrm{C}=273,15+5=278,15\\ \mathrm{K}.
    • A pressão absoluta no fundo é a soma da pressão atmosférica com a pressão hidrostática: P_{1}=P_{\text{atm}}+\rho g h.Vou usar P_{\text{atm}}=1,01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Constante dos gases ideais: R=8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\,K^{-1}}.
    • Número de Avogadro: N_{A}=6,02\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 3

Calcular a pressão absoluta no fundo ( P_{1}) usando \rho g h.
  • Calcular a pressão hidrostática:
    \rho g h = 1030\cdot 9,8\cdot 25.
    Primeiro 1030\cdot 9,8 = 10094. Depois 10094\cdot 25 = 252350\\ \mathrm{Pa}.
  • Somando a pressão atmosférica:
    P_{1}=1,01\times10^{5}+2,52350\times10^{5}=3,53350\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    Ou seja P_{1}=3,5335\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Explicar a fórmula que vou usar para achar a quantidade de matéria (moles) e por que: ideal gas law.
  • Lei dos gases ideais (explicação curta e didática): para um gás ideal, a relação entre pressão P, volume V, número de mols n e temperatura T é PV=nRT.Aqui:
    • P é a pressão absoluta (em pascal, \mathrm{Pa}),
    • V é o volume (em \mathrm{m^{3}}),
    • n é o número de moles (em \mathrm{mol}),
    • R é a constante dos gases ideais ( 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
    • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Como a bolha é fechada, n calculado no fundo é o mesmo quando a bolha chega à superfície. Então calculo n usando os dados do fundo.

Passo 5

Calcular o número de mols n contidos na bolha no fundo.
  • Aplicando PV=nRT e isolando n:
    n=\dfrac{P_{1}V_{1}}{RT}.
  • Substituindo números (cada valor matemático entre parênteses está em SI):
    n=\dfrac{(3,5335\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\cdot(1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}})}{8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\cdot 278,15\\ \mathrm{K}}.
  • Calcular numerador e denominador:
    • Numerador: 3,5335\times10^{5}\cdot 1\times10^{-6}=3,5335\times10^{-1}=0,35335.
    • Denominador: 8,314\cdot278,15\approx2312,54.
  • Dividindo:
    n\approx\dfrac{0,35335}{2312,54}\approx 1,528\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

Converter o número de mols para número de moléculas totais e depois separar por espécie.
  • Número total de moléculas N_{\text{tot}}: N_{\text{tot}}=n\,N_{A}=(1,528\times10^{-4}\\ \mathrm{mol})\cdot(6,02\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}).
N_{\text{tot}}\approx 9,20\times10^{19}\\ \text{moléculas}.é
  • Agora, usando a composição percentual (por número de moléculas):
    • Moléculas de \mathrm{O}_{2}: 22\% de N_{\text{tot}}: N_{\mathrm{O}_{2}}=0,22\cdot N_{\text{tot}}\approx 0,22\cdot 9,20\times10^{19}\approx 2,02\times10^{19}.
    • Moléculas de \mathrm{N}_{2}: 78\% de N_{\text{tot}}: N_{\mathrm{N}_{2}}=0,78\cdot N_{\text{tot}}\approx 0,78\cdot 9,20\times10^{19}\approx 7,18\times10^{19}.

Passo 7

Comentário final curto e incentivo: resumindo, a bolha contém um número muito grande de moléculas — ordem 10^{19} — e essas contas são só aplicação direta da lei dos gases ideais com atenção às unidades. Mandou bem por pedir passo a passo — assim dá para usar a mesma técnica em outras questões parecidas!

Resposta

N_{\mathrm{O}_{2}}=2,02\times10^{19} moléculas
N_{\mathrm{N}_{2}}=7,18\times10^{19} moléculas

Exercícios relacionados