Água ferve à pressão atmosférica em um elemento de aquecimento horizontal de cobre polido com diâmetro de 5 mm e emissividade de 0,05 , imerso em água. Se a temperatura da superficie do fio de aquecimento é de 350^{\circ} \mathrm{C}, determinar a taxa de transferência de calor do fio para a água por sua unidade de comprimento.

Passo 1

Temos um fio de cobre polido ( \epsilon=0,05) de diâmetro D =5 mm imerso em água em ebulição ( 100\circC a 1 atm). A superfície do fio está a 350\circC. Como não temos dados de convecção na ebulição, vamos calcular apenas a transferência de calor por radiação. Usamos a lei de Stefan–Boltzmann linearizada para um cilindro longo numa envolvente a T_\infty.

Passo 2

Convertendo as temperaturas para Kelvin:
T_s = 350\,^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 623{,}15\\ \mathrm{K}, \quad T_\infty = 100\,^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
O coeficiente de troca por radiação é dado por
h_r = \varepsilon\,\sigma\,(T_s + T_\infty)\,(T_s^2 + T_\infty^2),
onde \sigma = 5{,}67\times10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2\,K^4)}. Assim,
h_r = 0{,}05\times5{,}67\times10^{-8}\times(623{,}15 + 373{,}15)\times(623{,}15^2 + 373{,}15^2).

Passo 3

Primeiro calculamos numericamente h_r:
h_r \approx 0{,}05 \times 5{,}67\times10^{-8} \times 996{,}3 \times 527{,}3\times10^{3} \approx 1{,}49\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.
A taxa de calor por unidade de comprimento do fio vale
q' = \pi D\,h_r\,(T_s - T_\infty).
Substituindo D = 0{,}005\\ \mathrm{m} e \Delta T = 623{,}15 - 373{,}15 = 250\\ \mathrm{K}:
q' = \pi \times 0{,}005 \times 1{,}49 \times 250 \approx 5{,}85\\ \mathrm{W/m}.

Resposta

A taxa de transferência de calor por radiação é aproximadamente 5{,}8\\ \mathrm{W/m}.

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