Um elemento aquecedor com revestimento metálico, de 6 mm de diâmetro e emissividade 1 , encontra-se imerso em posição horizontal em um banho de água. A temperatura da superficie do metal é 255^{\circ} \mathrm{C} sob condições de ebulição em regime estacionário. Estime a dissipação de potência por unidade de comprimento do aquecedor.

Passo 1

O enunciado apresenta um aquecedor cilíndrico de diâmetro de 6\,\text{mm} (ou seja, D=0,006\,\text{m}), revestido com emissividade \varepsilon=1, imerso em um banho de água em ebulição (temperatura da água T_\infty=100^\circ\text{C}) e, em regime estacionário, a temperatura da superfície do metal é T_s=255^\circ\text{C}.
O objetivo é estimar a potência dissipada por unidade de comprimento, q', considerando a troca térmica por radiação. Para isso, vamos usar a Lei de Stefan–Boltzmann e lembrar que, para um cilindro, a área por unidade de comprimento é A'=\pi D.

Passo 2

Converter as temperaturas para a escala Kelvin, pois a Lei de Stefan–Boltzmann usa temperaturas absolutas:
T_s = 255^\circ\text{C} + 273{,}15 = 528{,}15\;\text{K}
T_\infty = 100^\circ\text{C} + 273{,}15 = 373{,}15\;\text{K}

Passo 3

Escrever a expressão da potência radiada por unidade de comprimento de um cilindro, considerando emissão e recepção no meio a T_\infty:
q' = \varepsilon \,\sigma\,A'\,\bigl(T_s^4 - T_\infty^4\bigr)
onde
\sigma = 5{,}67\times10^{-8}\,\mathrm{W/m^2\,K^4} é a constante de Stefan–Boltzmann,
A' = \pi D é a área lateral por unidade de comprimento.

Passo 4

Calcular o termo T_s^4 - T_\infty^4. Para simplificar a conta, aproximamos:
T_s^4 \approx (528{,}15)^4 \approx 7{,}772\times10^{10}\;\mathrm{K^4}
T_\infty^4 \approx (373{,}15)^4 \approx 1{,}936\times10^{10}\;\mathrm{K^4}
T_s^4 - T_\infty^4 \approx 7{,}772\times10^{10} - 1{,}936\times10^{10} =5{,}836\times10^{10}\;\mathrm{K^4}

Passo 5

Substituir todos os valores na fórmula de q':
A' = \pi D = \pi \times 0{,}006 = 0{,}01885\;\mathrm{m}
q' = 1 \times 5{,}67\times10^{-8} \times 0{,}01885 \times 5{,}836\times10^{10}
q' \approx 5{,}67\times10^{-8}\times5{,}836\times10^{10}\times0{,}01885 \approx 3{,}305\times10^{3}\times0{,}01885 \approx 62{,}3\;\mathrm{W/m}

Resposta

A potência dissipada por unidade de comprimento é aproximadamente 62{,}3\;\mathrm{W/m}.

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