A água flui através de um cano horizontal. Na altura h1 o cano tem diâmetro de 100,0 mm e na altura h2=10,0 mm. Se a água sai para a atmosfera com velocidade v2=20,0 m / s, e h1=h2, que volume de água escoa para a atmosfera no período de 1,0 minuto?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de fluxo de água em um cano horizontal. O cano tem dois pontos com diâmetros diferentes: 100,0 mm em um ponto e 10,0 mm no outro. A água sai desse ponto menor com uma velocidade de 20,0 m/s, e queremos saber quanto volume de água sai nesse período de 1,0 minuto. Para resolver isso, vamos usar a equação da continuidade, que basicamente diz que o que entra em um lugar tem que sair em outro, mantendo o fluxo constante.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a área da seção transversal de um cano depende do diâmetro. A fórmula para a área de um círculo é:
A = pi r^2
Onde $ r $ é o raio do cano.

Passo 3

Vamos calcular as áreas nos dois pontos. Mas, antes disso, precisamos converter os diâmetros de milímetros para metros para manter as unidades consistentes.
  • Diâmetro no ponto 1 (D₁): 100,0 mm = 0,100 m
  • Diâmetro no ponto 2 (D₂): 10,0 mm = 0,010 m
Agora, o raio é metade do diâmetro:
  • Raio no ponto 1 (r₁): 0,050 m
  • Raio no ponto 2 (r₂): 0,005 m
Calculando as áreas:
  • Área A₁:
A₁ = pi (0,050)^2 = pi times 0,0025 = 0,00785 , m² ²
  • Área A₂:
A₂ = pi (0,005)^2 = pi times 0,000025 = 0,0000785 , m² ²

Passo 4

A próxima coisa é usar a equação da continuidade, que diz que:
A₁ v₁ = A₂ v₂
Onde:
  • $ A₁ $ e $ A₂ $ são as áreas nos pontos 1 e 2.
  • $ v₁ $ e $ v₂ $ são as velocidades da água nesses pontos.
Queremos encontrar $ v₁ $, a velocidade no ponto 1.
Rearranjando a fórmula:
A₁

Passo 5

Vamos substituir os valores que já temos:
v₁ = 0,0000785 , m² times 20,0 , m/s0,00785 , m² = 0,001570,00785 approx 0,2 , m/s ²²

Passo 6

Agora que sabemos a velocidade no ponto 1 ($ v₁ = 0,2 , m/s $), podemos calcular o volume de água que passa em 1,0 minuto.
Primeiro, converter 1,0 minuto para segundos:
v₁ = 0,2 , m/s
O volume ($ V $) que passa é dado por:
1,0 , min = 60 , s
Onde $ t $ é o tempo.
Substituindo os valores:
V ²³

Resposta

O volume de água que escoa para a atmosfera em 1,0 minuto é de aproximadamente 0,0942 metros cúbicos.

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