Água flui através de um tubo de 150 mm de diâmetro e 598 m de comprimento na vazão de 60 L / s. Determine a rugosidade do material do tubo sabendo que a perda de carga distribuida do escoamento é hL=49 m.
Dados: mu=0,001 Pa^2 s rho=1000 kg / m^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de mecânica dos fluidos onde a água está fluindo por um tubo com diâmetro de 150 mm e comprimento de 598 metros, a uma vazão de 60 litros por segundo. Queremos descobrir a rugosidade do material desse tubo, sabendo que a perda de carga (ou seja, a queda de pressão) é de 49 metros. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Darcy-Weisbach, que relaciona a perda de carga com fatores como a velocidade do fluido, o diâmetro do tubo, a rugosidade e outras propriedades do fluido que já temos, como a viscosidade e a densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. O diâmetro do tubo está em milímetros, então vamos converter para metros:
D = 150 , mm = 0,150 , m
A vazão também está em litros por segundo, vamos converter para metros cúbicos por segundo:
Q = 60 , L/s = 0,060 , m^3/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade da água no tubo. A velocidade $ V $ pode ser encontrada dividindo a vazão $ Q $ pela área da seção transversal do tubo $ A $:
V
Calculando a área:
Q
Então, a velocidade:
A

Passo 4

Com a velocidade conhecida, vamos calcular o número de Reynolds $ Re $ para determinar se o fluxo é laminar ou turbulento. O número de Reynolds é dado por:
Re
Onde:
  • $ \rho = 1000 , kg/m^3 $ (densidade da água)
  • $ V \approx 3,39 , m/s $ (velocidade)
  • $ D = 0,150 , m $ (diâmetro)
  • $ \mu = 0,001 , Pa \cdot s $ (viscosidade)
Calculando:
Re = rho V Dmu
Como $ Re > 4000 $, o fluxo é turbulento.

Passo 5

Para fluxos turbulentos, usamos a equação de Darcy-Weisbach para a perda de carga:
hL = f LD V^22g
Onde:
  • $ h_L = 49 , m $ (perda de carga)
  • $ f $ é o fator de atrito que depende da rugosidade
  • $ L = 598 , m $ (comprimento do tubo)
  • $ D = 0,150 , m $ (diâmetro)
  • $ V \approx 3,39 , m/s $ (velocidade)
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
Queremos encontrar a rugosidade, então precisamos primeiro encontrar $ f $.

Passo 6

Rearranjando a equação de Darcy-Weisbach para $ f $:
f
Substituindo os valores:
f = 2g hL DL V^2
Calculando o numerador:
f = 2 times 9,81 times 49 times 0,150598 times (3,39)^2
Calculando o denominador:
2 times 9,81 times 49 times 0,150 approx 144,207
Então:
598 times 11,4921 approx 6865,15

Passo 7

Agora, vamos usar a equação de Colebrook-White, que relaciona o fator de atrito $ f $ com o número de Reynolds $ Re $ e a rugosidade relativa $ \frac{\varepsilon}{D} $:
f
Como essa equação é implícita em $ f $, geralmente resolvemos iterativamente ou usando gráficos. Mas, para simplificar, vamos usar uma aproximação ou uma calculadora específica.

Passo 8

Usando uma calculadora da equação de Colebrook com os valores:
  • $ Re = 508500 $
  • $ f \approx 0,021 $ (estimativa inicial)
Encontramos a rugosidade relativa $ \frac{\varepsilon}{D} \approx 0,002 $.
Então, a rugosidade absoluta $ \varepsilon $ é:
Re = 508500

Resposta

A rugosidade do material do tubo é aproximadamente 0,3 mm.

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