Um tubo de diâmetro
e comprimento
é conectado a um grande reservatório que contém um óleo.
Assumindo que o escoamento seja laminar através do tubo, calcule a velocidade do óleo que no ponto 3 deixa a tubulação e é lançado à atmosfera.
Assumindo que o escoamento seja laminar através do tubo, calcule a velocidade do óleo que no ponto 3 deixa a tubulação e é lançado à atmosfera.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tubo com diâmetro de $ d = 7,62 \ cm $ e comprimento $ L = 2131 \ m $, conectado a um grande reservatório que contém óleo. A gente precisa calcular a velocidade do óleo quando ele sai do tubo e vai para a atmosfera, assumindo que o escoamento é laminar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Hagen-Poiseuille, que descreve o escoamento laminar em tubos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para escoamento laminar, a velocidade do fluido pode ser calculada usando a equação de Hagen-Poiseuille. Essa equação relaciona a diferença de pressão, o comprimento do tubo, a viscosidade do fluido, e o diâmetro do tubo para determinar o fluxo volumétrico.
A equação de Hagen-Poiseuille é dada por:
Onde:
- $ Q $ é o fluxo volumétrico,
- $ \Delta P $ é a diferença de pressão,
- $ d $ é o diâmetro do tubo,
- $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do fluido,
- $ L $ é o comprimento do tubo.
Passo 3
No nosso caso, o óleo sai para a atmosfera, então a pressão na saída é a pressão atmosférica. Assumindo que o reservatório é muito grande, a pressão no início do tubo também é aproximadamente a pressão atmosférica. Porém, para haver um escoamento, precisamos considerar o efeito da gravidade que cria uma diferença de pressão ao longo do tubo devido ao peso do óleo.
A diferença de pressão $ \Delta P $ pode ser calculada usando a relação:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade do óleo,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura equivalente do óleo.
Como o tubo tem comprimento $ L $, podemos relacionar $ h $ com $ L $, assumindo que o fluxo é impulsionado pela diferença de altura do reservatório.
Passo 4
Agora, substituindo $ \Delta P $ na equação de Hagen-Poiseuille, temos:
A velocidade média $ v $ do óleo no tubo pode ser relacionada ao fluxo volumétrico $ Q $ pela equação:
Onde $ A $ é a área da seção transversal do tubo. Para um tubo circular, $ A $ é:
Passo 5
Substituindo $ Q $ na equação da velocidade, temos:
Agora, precisamos expressar $ h $ em termos do comprimento do tubo $ L $. Considerando que o escoamento é impulsionado pela altura do óleo no reservatório que está como uma coluna de comprimento $ L $:
Substituindo $ h $ por $ L $:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão:
Essa é a fórmula que nos dá a velocidade do óleo no ponto de saída do tubo, considerando escoamento laminar.
Resposta
A velocidade do óleo ao sair do tubo é:
Para obter o valor numérico, precisamos conhecer os valores da densidade $ \rho $ e da viscosidade $ \mu $ do óleo. Com esses dados, basta substituir na fórmula para calcular $ v $.