A água flui para um tanque cúbico a uma taxa de 15 L/s. Se a superfície superior da água no tanque está subindo 1,5 cm por segundo, qual é o comprimento de cada lado do tanque?

Passo 1

Beleza, tá rolando um tanque em forma de cubo, nele a água entra a 15 L/s e o nível de água tá subindo a 1,5 cm/s. A ideia é descobrir quanto mede cada aresta do cubo (o “x”). Isso é um problema de taxas relacionadas (derivadas) em Cálculo: vamos usar a fórmula do volume de água em função da altura e da base do cubo e relacionar as taxas de variação.
O que vamos precisar:
  • Converter 15 L/s em cm³/s.
  • Escrever a expressão do volume da água (V) em função da altura (h) e da aresta (x).
  • Derivar em relação ao tempo (t) para ligar dV/dt e dh/dt.
  • Isolar x e calcular.

Passo 2

Primeiro, conversão de unidades:
1 L = 1000 cm³, então
dVdt = 15,L/s = 15 times 1000 = 15000 cm^3/s
Agora, se o cubo tem aresta V = (área da base) times (a, a área da base é dVdt = x^2 ,dhdt . Se a água tem altura , o volume que ela ocupa é
á
Como é constante (o tanque não muda de tamanho) e , derivamos ambos os lados em relação a :

Passo 3

A gente já sabe que
15000 = x^2 times 1,5
e
x^2 = 150001,5 = 10000
Substituindo na equação:
x = raiz10000 = 100 cm
Isolando :
Logo

Resposta

Cada aresta do tanque mede 100 cm (ou 1,0 m).

Exercícios relacionados