A água flui para um tanque cúbico a uma taxa de 15 L/s. Se a superfície superior da água no tanque está subindo
por segundo, qual é o comprimento de cada lado do tanque?
Passo 1
Beleza, tá rolando um tanque em forma de cubo, nele a água entra a 15 L/s e o nível de água tá subindo a 1,5 cm/s. A ideia é descobrir quanto mede cada aresta do cubo (o “x”). Isso é um problema de taxas relacionadas (derivadas) em Cálculo: vamos usar a fórmula do volume de água em função da altura e da base do cubo e relacionar as taxas de variação.
O que vamos precisar:
- Converter 15 L/s em cm³/s.
- Escrever a expressão do volume da água (V) em função da altura (h) e da aresta (x).
- Derivar em relação ao tempo (t) para ligar dV/dt e dh/dt.
- Isolar x e calcular.
Passo 2
Primeiro, conversão de unidades:
1 L = 1000 cm³, então
1 L = 1000 cm³, então
Agora, se o cubo tem aresta
, a área da base é
. Se a água tem altura
, o volume que ela ocupa é
Como
é constante (o tanque não muda de tamanho) e
, derivamos ambos os lados em relação a
:
Passo 3
A gente já sabe que
e
e
Substituindo na equação:
Isolando
:
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Resposta
Cada aresta do tanque mede 100 cm (ou 1,0 m).