Água fluindo a uma taxa de 0,667 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} entra em um trocador de calor de tubo duplo contracorrente a 308 K e é aquecido por um fluxo de óleo que entra no trocador a 383 K a uma taxa de 2,85 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}\left(\mathrm{c}_{\mathrm{p}}=1890 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK}\right). O coeficiente global U é de 300 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e a área de troca térmica igual a 15 \mathrm{~m}^{2}. Calcule a taxa de transferência de calor e a temperatura de saída da água. ( \mathbf{1 4 8 9 0 0 W}, \mathbf{3 6 1 , 3 K} )

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a taxa de transferência de calor no trocador de calor.
  • Calcular a temperatura de saída da água.
Dados fornecidos (vou listar todos os números exatos do enunciado):
\dot m_{\text{água}} = 0,667\\ \mathrm{kg/s},\qquad T_{\text{água,in}} = 308\\ \mathrm{K}áá
\dot m_{\text{óleo}} = 2,85\\ \mathrm{kg/s},\qquad T_{\text{óleo,in}} = 383\\ \mathrm{K},\qquad c_{p,\text{óleo}} = 1890\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}óóó
U = 300\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)},\qquad A = 15\\ \mathrm{m^{2}}
Observação importante (informação que não aparece explicitamente no enunciado):
  • O enunciado não dá o calor específico da água. É prática comum, e razoável para este tipo de problema de prova, assumir
c_{p,\text{água}} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}.á
Vou usar esse valor (se você tiver outro valor de tabela para usar na prova, o método é o mesmo; apenas troque o número).

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática curta):
  • Temos um trocador contracorrente com coeficiente global U e área A. Quando os calores específicos são constantes, uma forma eficiente de resolver é usar o método “NTU — eficácia” (NTU = número de unidades térmicas) que fornece a eficácia \varepsilon do trocador e, a seguir, a taxa de calor \dot Q.
  • Por que usar NTU/eficácia? Porque temos U e A (logo \,UA), e queremos a transferência de calor e temperaturas de saída; a formulação NTU/eficácia é direta quando se conhece UA e as capacidades de fluxo térmico (\dot m c_p).
  • Vou explicar cada passo e cada fórmula quando ela aparecer, pra você entender como aplicar isso na prova sem erro.

Passo 3

Cálculo das capacidades térmicas (a “taxa de capacidade” de cada fluido):
  • Definição: a taxa de capacidade térmica de um fluido é
C = \dot m\, c_p,
onde \dot m é a vazão mássica e c_p é o calor específico (J/kg·K). A unidade de C é \mathrm{W/K}.
Calculemos para a água (usando c_{p,\text{água}} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}á):
C_{\text{água}} = \dot m_{\text{água}}\,c_{p,\text{água}} = 0,667\cdot 4180 = 2788,06\\ \mathrm{W/K}.ááá
E para o óleo (dados do enunciado):
C_{\text{óleo}} = \dot m_{\text{óleo}}\,c_{p,\text{óleo}} = 2,85\cdot 1890 = 5386,50\\ \mathrm{W/K}.óóó

Passo 4

Identificar C_{\min}, C_{\max} e a razão de capacidades C_r:
  • Por definição:
C_{\min} = \min(C_{\text{água}},C_{\text{óleo}}),\qquad C_{\max}=\max(C_{\text{água}},C_{\text{óleo}}).áóáó
Aqui:
C_{\min} = C_{\text{água}} = 2788,06\\ \mathrm{W/K},\qquad C_{\max} = C_{\text{óleo}} = 5386,50\\ \mathrm{W/K}.áó
  • Razão de capacidades:
C_r = \frac{C_{\min}}{C_{\max}} = \frac{2788,06}{5386,50} = 0,5177\\ (\text{adimensional}).

Passo 5

Calcular UA e o número NTU:
  • Primeiro UA:
UA = U\cdot A = 300\cdot 15 = 4500\\ \mathrm{W/K}.
  • Definição do NTU (Number of Transfer Units):
\mathrm{NTU} = \frac{UA}{C_{\min}}.
Substituindo:
\mathrm{NTU} = \frac{4500}{2788,06} = 1,6146\\ (\text{adimensional}).

Passo 6

Fórmula da eficácia \varepsilon para trocador contracorrente (e explicação do que é eficácia):
  • Definição: a eficácia \varepsilon é a razão entre a transferência de calor real e a transferência máxima possível se o fluido de menor capacidade fosse levado à temperatura de entrada do fluido quente:
\varepsilon = \frac{\dot Q}{C_{\min}\,(T_{\text{quente,in}}-T_{\text{frio,in}})}.
  • Para um trocador contracorrente com capacidades constantes, a eficácia é dada por:
\varepsilon = \frac{1-\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1-C_r)\big)}{1 - C_r\,\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1-C_r)\big)}.
Explico as letras:
  • \mathrm{NTU} já foi calculado;
  • C_r é a razão de capacidades;
  • a exponencial \exp(\cdot) é a função exponencial usual.

Passo 7

Calcular a eficácia numérica (faça passo a passo numericamente):
  • Primeiro calcule o produto no expoente:
\mathrm{NTU}(1-C_r) = 1,6146\cdot (1-0,5177) = 1,6146\cdot 0,4823 = 0,7796.
  • A exponencial:
\exp(-0,7796) = 0,4587\\ (\text{aprox.}).
  • Numerador da fórmula da eficácia:
1 - \exp(-0,7796) = 1 - 0,4587 = 0,5413.
  • Denominador:
1 - C_r\cdot \exp(-0,7796) = 1 - 0,5177\cdot 0,4587 = 1 - 0,2375 = 0,7625.
  • Portanto a eficácia:
\varepsilon = \frac{0,5413}{0,7625} = 0,7099\\ (\text{adimensional}).

Passo 8

Calcular a taxa de transferência de calor \dot Q:
  • A relação entre \dot Q, eficácia e a diferença de temperatura máxima é
\dot Q = \varepsilon\,C_{\min}\,(T_{\text{quente,in}}-T_{\text{frio,in}}).
Aqui o fluido quente é o óleo e o frio é a água, então
\Delta T_{\max} = T_{\text{óleo,in}} - T_{\text{água,in}} = 383 - 308 = 75\\ \mathrm{K}.óá
  • Substituindo valores:
\dot Q = 0,7099\cdot 2788,06\cdot 75 = 148648{,}6\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma sensata (três dígitos significativos),
\dot Q \approx 148650\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Calcular a temperatura de saída da água T_{\text{água,out}}á:
  • Energia cedida à água aumenta sua temperatura segundo
\dot Q = C_{\text{água}}\,(T_{\text{água,out}} - T_{\text{água,in}}).ááá
  • Logo
T_{\text{água,out}} = T_{\text{água,in}} + \frac{\dot Q}{C_{\text{água}}}.ááá
  • Substituindo:
T_{\text{água,out}} = 308 + \frac{148648{,}6}{2788{,}06} = 308 + 53{,}31 = 361{,}31\\ \mathrm{K}.á
Arredondando,
T_{\text{água,out}} \approx 361{,}3\\ \mathrm{K}.á

Resposta

\dot Q = 148650\\ \mathrm{W}
T_{\text{água,out}} = 361{,}3\\ \mathrm{K}á

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