Água escoando com uma vazão de 10 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} ao longo de um trocador de calor de carcaça e tubos de passagem dupla e 50 tubos aquecem o ar que escoa ao longo do lado da carcaça. O comprimento dos tubos de latão é de 6,7 \mathrm{~m}. O diâmetro externo dos tubos é de 2,6 \mathrm{~cm} e o diâmetro interno 2,3 \mathrm{~cm}. Os coeficientes de transferência de calor da água e do ar são de 470 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e 210 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, respectivamente. O ar entra na carcaça a uma temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C} e a uma taxa de escoamento de 16 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A temperatura de entrada da água nos tubos é de 75^{\circ} \mathrm{C}. Calcule:
a) a efetividade do trocador de calor;
b) a taxa de transferência de calor para o ar;
c) a temperatura de saída do ar e da água.

Passo 1

Aqui está o que o enunciado dá e o que pede, organizado direitinho para não nos perdermos.
Dados do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Vazão mássica da água: } \dot{m}_w = 10\\ \mathrm{kg/s}\\\ &\text{Vazão mássica do ar: } \dot{m}_a = 16\\ \mathrm{kg/s}\\\ &\text{Temperatura de entrada do ar: } T_{a,i}=15^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Temperatura de entrada da água: } T_{w,i}=75^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Número de tubos: } N=50\\\ &\text{Comprimento dos tubos: } L=6{,}7\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Diâmetro externo dos tubos: } D_o=2{,}6\\ \mathrm{cm}=0{,}026\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Diâmetro interno dos tubos: } D_i=2{,}3\\ \mathrm{cm}=0{,}023\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Coeficiente convectivo interior (água): } h_i=470\\ \mathrm{W/(m^2K)}\\\ &\text{Coeficiente convectivo exterior (ar): } h_o=210\\ \mathrm{W/(m^2K)} \end{aligned}ãááãááúââá
O que é pedido:
a) a efetividade do trocador de calor;
b) a taxa de transferência de calor para o ar;
c) as temperaturas de saída do ar e da água.
Observação: não foi fornecido o calor específico nem a condutividade térmica do material dos tubos; vou assumir valores típicos razoáveis (vou explicitar e usar esses valores nos cálculos):
c_{p,w}=4180\\ \mathrm{J/(kg\,K)}\quad(\text{água}),\qquad c_{p,a}=1005\\ \mathrm{J/(kg\,K)}\quad(\text{ar})á
k_{\text{latão}} = 109\\ \mathrm{W/(m\,K)}\quad(\text{condutividade térmica do latão})ãéã

Passo 2

Calcular as áreas de troca por tubo (área interna e área externa), porque precisamos das resistências térmicas.
Fórmulas (círculo lateral de um tubo):
A_i=\pi D_i L,\qquad A_o=\pi D_o L
Cálculo numérico:
A_i=\pi(0{,}023)(6{,}7)=\pi\cdot 0{,}1541\approx 0{,}4840\\ \mathrm{m^2}
A_o=\pi(0{,}026)(6{,}7)=\pi\cdot 0{,}1742\approx 0{,}5473\\ \mathrm{m^2}
Esses são por tubo; haverá N=50 tubos.

Passo 3

Montar a resistência térmica total de um único tubo (convecção interna + condução na parede cilíndrica + convecção externa). Explico as fórmulas antes de usar.
  • Resistência convectiva interna (água) por tubo:
R_{conv,i}=\frac{1}{h_i A_i}
  • Resistência convectiva externa (ar) por tubo:
R_{conv,o}=\frac{1}{h_o A_o}
  • Resistência por condução na parede cilíndrica (entre superfície interna e externa) por tubo:
R_{cond}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{D_o}{D_i}\right)}{2\pi k L}
  • Resistência total por tubo:
R_{tubo}=R_{conv,i}+R_{cond}+R_{conv,o}
Agora os números:
R_{conv,i}=\frac{1}{470\cdot 0{,}4840}\approx 0{,}004395\\ \mathrm{K/W}
R_{conv,o}=\frac{1}{210\cdot 0{,}5473}\approx 0{,}008699\\ \mathrm{K/W}
\ln\!\left(\frac{D_o}{D_i}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}026}{0{,}023}\right)\approx 0{,}1224
R_{cond}=\frac{0{,}1224}{2\pi\cdot 109\cdot 6{,}7}\approx 2{,}67\times 10^{-5}\\ \mathrm{K/W}
Somando:
R_{tubo}\approx 0{,}004395+0{,}0000267+0{,}008699\approx 0{,}013121\\ \mathrm{K/W}
A condutância térmica de um tubo é 1/R_{tubo}. Como há N tubos idênticos em paralelo:
(UA)_{\text{total}} = \frac{N}{R_{tubo}}
Cálculo:
\frac{1}{R_{tubo}}\approx\frac{1}{0{,}013121}\approx 76{,}215\\ \mathrm{W/K\\ (por\\ tubo)}
UA = 50\cdot 76{,}215 \approx 3810{,}8\\ \mathrm{W/K}
Comentário: a resistência da parede é muito pequena comparada às resistências convectivas; ou seja, a parede não limita muito a troca térmica aqui.

Passo 4

Calcular as taxas de capacidade térmica (capacity rates) dos fluidos, que são C=\dot{m} c_p. Isso é importante porque a efetividade depende de C_{\min} e da razão C_r.
Fórmulas:
C_w=\dot{m}_w c_{p,w},\qquad C_a=\dot{m}_a c_{p,a}
Usando os valores assumidos:
C_w = 10\cdot 4180 = 41800\\ \mathrm{W/K}
C_a = 16\cdot 1005 = 16080\\ \mathrm{W/K}
Identificamos:
C_{\min}=C_a=16080\\ \mathrm{W/K},\qquad C_{\max}=C_w=41800\\ \mathrm{W/K}
e a razão de capacidades:
C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{16080}{41800}\approx 0{,}3847

Passo 5

Calcular o número de unidades de transferência térmica (NTU). Definição: \mathrm{NTU}=\dfrac{UA}{C_{\min}}. O NTU mede a habilidade do trocador em trocar calor em relação à capacidade térmica do fluido limitante.
Aplicando:
\mathrm{NTU}=\frac{3810{,}8}{16080}\approx 0{,}23698
Portanto \mathrm{NTU}\approx 0{,}237 (valor pequeno — trocador relativamente pouco eficaz por unidade de massa de ar).

Passo 6

Escolher a expressão para a efetividade \epsilon.
Explicação didática: a efetividade \epsilon é a razão entre o calor realmente trocado e o calor máximo que poderia ser trocado se o fluido de menor capacidade térmica saísse à temperatura de entrada do fluido quente:
\epsilon=\frac{\dot{Q}}{C_{\min}\,(T_{h,i}-T_{c,i})}
Para trocadores com uma passagem na carcaça e duas passagens nos tubos (1 shell pass, 2 tube passes) a configuração real é um trocador de fluxo misto que costuma ser aproximado pela relação de contrafluxo quando não se dispõe do fator de correção detalhado. Além disso, para valores de \mathrm{NTU} pequenos a diferença entre as fórmulas é pequena. Para simplificar (e seguindo métodos normalmente adotados em provas quando não são fornecidos fatores de correção), vou usar a fórmula do contraflux (counterflow), que é a mais conservadora e adequada para 2-pass tubes aproximando contraflux.
Fórmula da efetividade para contraflux:
\epsilon=\frac{1-\exp[-\mathrm{NTU}(1-C_r)]}{1-C_r\exp[-\mathrm{NTU}(1-C_r)]}

Passo 7

Aplica-se a fórmula do passo anterior com os valores calculados.
Primeiro calcule o produto:
-\mathrm{NTU}(1-C_r) = -0{,}23698\,(1-0{,}384688) = -0{,}23698\cdot 0{,}615312 \approx -0{,}14574
\exp[-\mathrm{NTU}(1-C_r)]\approx e^{-0{,}14574}\approx 0{,}86445
Agora a efetividade:
\epsilon=\frac{1-0{,}86445}{1-0{,}384688\cdot 0{,}86445}=\frac{0{,}13555}{1-0{,}332565}\approx\frac{0{,}13555}{0{,}667435}\approx 0{,}20316
Portanto:
\epsilon\approx 0{,}203\quad(\text{ou }20{,}3\%)
Breve interpretação: com essas condições o trocador alcança cerca de 20% do máximo calor possível (limitado pela capacidade do ar).

Passo 8

Calcular a taxa de transferência de calor \dot{Q} e as temperaturas de saída.
Usamos a definição da efetividade:
\dot{Q}=\epsilon\,C_{\min}\,(T_{h,i}-T_{c,i})
Aqui T_{h,i}=T_{w,i}=75^\circ\mathrm{C} e T_{c,i}=T_{a,i}=15^\circ\mathrm{C}.
Cálculo:
\dot{Q}=0{,}20316\cdot 16080\cdot(75-15)=0{,}20316\cdot 16080\cdot 60
16080\cdot 60 = 964800
\dot{Q}\approx 0{,}20316\cdot 964800 \approx 196089\\ \mathrm{W}
Arredondando de forma prática: \dot{Q}\approx 1{,}96\times 10^{5}\\ \mathrm{W} (ou 196\\ \mathrm{kW}).
Agora as temperaturas de saída:
  • A elevação de temperatura do ar (fluido com C_{\min}) é
\Delta T_a=\frac{\dot{Q}}{C_a}=\frac{196089}{16080}\approx 12{,}19\\ ^\circ\mathrm{C}
T_{a,o}=T_{a,i}+\Delta T_a=15+12{,}19\approx 27{,}19^\circ\mathrm{C}
  • A queda de temperatura da água:
\Delta T_w=\frac{\dot{Q}}{C_w}=\frac{196089}{41800}\approx 4{,}69\\ ^\circ\mathrm{C}
T_{w,o}=T_{w,i}-\Delta T_w=75-4{,}69\approx 70{,}31^\circ\mathrm{C}
Verificação rápida de balanço: \dot{m}_w c_{p,w}(T_{w,i}-T_{w,o})\approx \dot{Q} e \dot{m}_a c_{p,a}(T_{a,o}-T_{a,i})\approx \dot{Q} — ambas fecham com os valores calculados.

Resposta

(a) \epsilon \approx 0{,}203 (20,3%)
(b) \dot{Q}\approx 1{,}96\times 10^{5}\\ \mathrm{W} (aprox. 196\\ \mathrm{kW})
(c) T_{a,o}\approx 27{,}2^\circ\mathrm{C}
T_{w,o}\approx 70{,}3^\circ\mathrm{C}

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