Um avião viaja a uma velocidade de
em ar a
e 100 kPa . O aerofólio do avião possui uma borda de ataque afiada com ângulo interno
e ângulo de ataque
. Determine as pressões nas superfícies superior e inferior do aerofólio imediatamente após a borda de ataque.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as pressões imediatamente após a borda de ataque nas superfícies superior e inferior do aerofólio. Dados fornecidos:
- velocidade do avião:
; - ar a
e (pressão estática ambiente); - ângulo interno da borda de ataque:
; - ângulo de ataque:
.
Da figura (usei explicitamente os valores mostrados na imagem) obtemos os ângulos de deflexão do fluxo nas superfícies medidos a partir do escoamento livre: - deflexão na superfície superior:
; - deflexão na superfície inferior:
.
Queremos entãoimediatamente após a borda de ataque em cada face (superior e inferior), sabendo que a condição de escoamento livre é e temperatura .
Passo 2
Primeiro passo físico: calcular o número de Mach freestream
).
Explicação curta da fórmula do som: a velocidade do som em gás perfeito é
Explicação curta da fórmula do som: a velocidade do som em gás perfeito é
onde
é o coeficiente adiabático (para ar
),
é a constante do ar (
) e
é a temperatura absoluta em Kelvin. Converter
em Kelvin:
.
Cálculo:
Cálculo:
O número de Mach é
Passo 3
Análise do que ocorre nas duas superfícies (motivação do método).
Explicação física: com e cantos afiados, quando o escoamento é defletido em direção à superfície (ângulo positivo
que aproxima o fluxo da superfície) surge uma onda de choque oblíqua; quando é defletido para longe da superfície (ângulo negativo no sentido de afastar o fluxo) tem-se uma expansão fan de Prandtl–Meyer (expansão isentrópica). Aqui
(fluxo girado em direção à superfície inferior) gera um choque oblíquo;
(fluxo girado para longe da superfície superior) gera uma expansão de Prandtl–Meyer. Vamos tratar cada lado separadamente.
Explicação física: com
Passo 4
Superfície superior — teoria necessária (Prandtl–Meyer / expansão isentrópica).
- A função de Prandtl–Meyer
mede o ângulo de expansão acumulado até um certo Mach e é dada por
- Em uma expansão isentrópica (fan de Prandtl–Meyer) o novo Mach
satisfaz
onde
é o ângulo de deflexão (em radianos).
- Depois de obter
, a variação de pressão é isentrópica, logo usamos a relação entre pressões em escoamento isentrópico:
Nessas fórmulas
.
Passo 5
Superfície superior — cálculo numérico do Mach pós-expansão e da pressão.
- Calcular
para (usar radianos nas arctan). Aplicando a fórmula:
- A deflexão é
. Logo
- Invertendo numericamente
(procedimento padrão: tentar valores de até que iguale o valor acima), obtemos
(Expliquei: essa inversão pode ser feita por tentativa/interpolação; mostrei os passos numéricos na conta.)
- Agora usar a relação isentrópica entre pressões:
Substituindo
,
e
:
- Assim a pressão na face superior imediatamente após a borda é
Passo 6
Superfície inferior — teoria necessária (choque oblíquo).
- Para um choque oblíquo fraco, dados
e deflexão , o ângulo de choque satisfaz a relação - - :
Essa equação é implícita em
e normalmente resolvida numericamente (procura-se o
do choque fraco, ou seja o menor
maior que o ângulo de Mach).
- Depois de conhecer
, a componente normal de Mach antes do choque é
- A variação de pressão através do choque (component normal) usa a relação do choque normal:
Esse
é a pressão estática logo após o choque, que será a pressão na superfície inferior logo após a borda (o escoamento então gira para seguir a superfície).
Passo 7
Superfície inferior — solução numérica para
e cálculo de
.
- Substituir
e na equação e resolver numericamente (tentativa/interpolação). - A solução fraca dá aproximadamente
. - Calcular a componente normal:
- Aplicar a fórmula do choque normal:
Com
temos
. Como
,
- Portanto a pressão na face inferior imediatamente após a borda é
Passo 8
Resumo físico e verificação rápida:
- Superior: expansão isentrópica (Prandtl–Meyer) aumenta o Mach e reduz a pressão; resultado obtido
. - Inferior: choque oblíquo aumenta a pressão; resultado obtido
.
As ordens de grandeza fazem sentido fisicamente e os cálculos seguem as relações padrão de escoamentos supersônicos (Prandtl–Meyer para expansão isentrópica e fórmulas de choque normal aplicadas à componente normal do choque oblíquo).