A água
flui para baixo ao longo de um tubo com inclinação de 300 com relação a horizontal. A diferença de pressão é devido parcialmente a gravidade e parcialmente ao atrito. Determine a diferença de pressão entre os pontos A e B para
e
mercurio
. Resposta:
Passo 1
O enunciado pede a diferença de pressão entre os pontos A e B de um trecho de tubo inclinado, sabendo que essa diferença é causada parcialmente pela componente gravitacional (variação de elevação) e parcialmente pela leitura de um manômetro em U com mercúrio. Dados fornecidos (retirei os valores da figura e do enunciado):
-
. - inclinação do tubo:
com a horizontal. - comprimento entre as tomadas:
. - leitura do manômetro (diferença indicada):
. - gravidade específica do mercúrio:
(ou seja, ).
O que se pede: calcular(diferença de pressão entre A e B).
Passo 2
Entendendo o manômetro e as pressões: vou explicar a ideia passo a passo, sem pular etapas.
- Em cada braço do manômetro, a pressão no ponto de contato com o mercúrio é igual à pressão no ponto correspondente do tubo mais a pressão hidrostática do fluido acima do mercúrio.
- Se chamarmos
e as elevações (em relação a um mesmo referencial) dos pontos A e B, e e as elevações das superfícies do mercúrio nos braços esquerdo e direito, temos as igualdades de pressão nos níveis das superfícies do mercúrio:
onde
e
são as pressões no interior do mercúrio imediatamente abaixo das superfícies esquerda e direita, respectivamente.
- Entre esses dois pontos no mesmo fluido (mercúrio) vale:
- Subtraindo e eliminando
obtemos (faço o desenvolvimento no passo seguinte) a relação que liga , a diferença de elevação entre A e B e a diferença de nível do mercúrio.
Passo 3
Derivação algébrica detalhada (sem pular etapas):
Partindo das equações do passo anterior:
Partindo das equações do passo anterior:
e
Substituindo a segunda na terceira e igualando à primeira:
Rearranjando para obter
:
Agrupando o termo com
:
onde definições úteis:
-
é a queda vertical do ponto A para o ponto B (se estiver acima de , ). -
é a diferença de nível do mercúrio entre o braço direito e o esquerdo. Pelo enunciado/figura essa diferença é , ou seja .
Esta é a fórmula que vamos usar. Interpretação: o primeiro termo é a contribuição gravitacional (peso da coluna de água entre A e B) e o segundo é a contribuição medida pelo manômetro (diferença efetiva de densidade entre mercúrio e água multiplicada pela diferença de nível do mercúrio).
Passo 4
Substituição numérica e cálculo (passo a passo, com contas pequenas para você poder reproduzir na prova):
- Primeiro calcule a queda vertical entre A e B:
- Densidade hidrostática do mercúrio (peso específico):
- Diferença entre os pesos específicos:
- Agora calcule cada termo da fórmula
- Somando os termos:
- Converter para kPa e arredondar com 3 algarismos significativos:
Passo 5
Interpretação curta e dica para prova: o resultado positivo indica que
. Na prova, memorize a forma sistemática de “baixar” a pressão até o nível do mercúrio em cada braço, usar a relação no fluido contínuo (aqui o mercúrio) e eliminar as pressões intermediárias — isso dá sempre a expressão do tipo
Pratique com sinais e com casos onde o mercúrio fica mais alto do outro lado para não errar o sinal de
.