A água (\gamma=9810 \mathrm{~N} / \mathrm{m} 3) flui para baixo ao longo de um tubo com inclinação de 300 com relação a horizontal. A diferença de pressão é devido parcialmente a gravidade e parcialmente ao atrito. Determine a diferença de pressão entre os pontos A e B para L= 1,52 \mathrm{~m} e \mathrm{h}=0,15 \mathrm{~m} (\delta mercurio =13,6). Resposta: 11,1 \mathrm{kPa}

Passo 1

O enunciado pede a diferença de pressão entre os pontos A e B de um trecho de tubo inclinado, sabendo que essa diferença é causada parcialmente pela componente gravitacional (variação de elevação) e parcialmente pela leitura de um manômetro em U com mercúrio. Dados fornecidos (retirei os valores da figura e do enunciado):
  • \gamma_{\text{água}} = 9810\\ \mathrm{N/m^3}á.
  • inclinação do tubo: 30^\circ com a horizontal.
  • comprimento entre as tomadas: L = 1,52\\ \mathrm{m}.
  • leitura do manômetro (diferença indicada): h = 0,15\\ \mathrm{m}.
  • gravidade específica do mercúrio: \delta_{\text{Hg}} = 13,6 (ou seja, \gamma_{\text{Hg}} = 13{,}6\,\gamma_{\text{água}}á).
    O que se pede: calcular p_A - p_B (diferença de pressão entre A e B).

Passo 2

Entendendo o manômetro e as pressões: vou explicar a ideia passo a passo, sem pular etapas.
  • Em cada braço do manômetro, a pressão no ponto de contato com o mercúrio é igual à pressão no ponto correspondente do tubo mais a pressão hidrostática do fluido acima do mercúrio.
  • Se chamarmos y_A e y_B as elevações (em relação a um mesmo referencial) dos pontos A e B, e y_{mL} e y_{mR} as elevações das superfícies do mercúrio nos braços esquerdo e direito, temos as igualdades de pressão nos níveis das superfícies do mercúrio: p_A + \gamma_{\text{água}}\,(y_A - y_{mL}) = p_{mL},á
p_B + \gamma_{\text{água}}\,(y_B - y_{mR}) = p_{mR},á
onde p_{mL} e p_{mR} são as pressões no interior do mercúrio imediatamente abaixo das superfícies esquerda e direita, respectivamente.
  • Entre esses dois pontos no mesmo fluido (mercúrio) vale: p_{mL} = p_{mR} + \gamma_{\text{Hg}}\,(y_{mR}-y_{mL}).
  • Subtraindo e eliminando p_{mL}, p_{mR} obtemos (faço o desenvolvimento no passo seguinte) a relação que liga p_A-p_B, a diferença de elevação entre A e B e a diferença de nível do mercúrio.

Passo 3

Derivação algébrica detalhada (sem pular etapas):
Partindo das equações do passo anterior:
p_A + \gamma_{\text{água}}\,(y_A - y_{mL}) = p_{mL},á
p_B + \gamma_{\text{água}}\,(y_B - y_{mR}) = p_{mR},á
e
p_{mL} = p_{mR} + \gamma_{\text{Hg}}\,(y_{mR}-y_{mL}).
Substituindo a segunda na terceira e igualando à primeira:
p_A + \gamma_{\text{água}}\,(y_A - y_{mL}) = p_B + \gamma_{\text{água}}\,(y_B - y_{mR}) + \gamma_{\text{Hg}}\,(y_{mR}-y_{mL}).áá
Rearranjando para obter p_A-p_B:
p_A - p_B = \gamma_{\text{água}}\,(y_B - y_A) + \gamma_{\text{Hg}}\,(y_{mR}-y_{mL}) + \gamma_{\text{água}}\,(y_{mR}-y_{mL}).áá
Agrupando o termo com (y_{mR}-y_{mL}):
p_A - p_B = -\gamma_{\text{água}}\,\Delta z + (\gamma_{\text{Hg}} - \gamma_{\text{água}})\,\Delta h,áá
onde definições úteis:
  • \Delta z = y_A - y_B é a queda vertical do ponto A para o ponto B (se A estiver acima de B, \Delta z>0).
  • \Delta h = y_{mR}-y_{mL} é a diferença de nível do mercúrio entre o braço direito e o esquerdo. Pelo enunciado/figura essa diferença é h, ou seja \Delta h = h.
    Esta é a fórmula que vamos usar. Interpretação: o primeiro termo é a contribuição gravitacional (peso da coluna de água entre A e B) e o segundo é a contribuição medida pelo manômetro (diferença efetiva de densidade entre mercúrio e água multiplicada pela diferença de nível do mercúrio).

Passo 4

Substituição numérica e cálculo (passo a passo, com contas pequenas para você poder reproduzir na prova):
  • Primeiro calcule a queda vertical entre A e B: \Delta z = L\sin 30^\circ = 1{,}52\cdot\sin 30^\circ = 1{,}52\cdot 0{,}5 = 0{,}76\\ \mathrm{m}.
  • Densidade hidrostática do mercúrio (peso específico): \gamma_{\text{Hg}} = 13{,}6\;\gamma_{\text{água}} = 13{,}6\cdot 9810 = 133416\\ \mathrm{N/m^3}.á
  • Diferença entre os pesos específicos: \gamma_{\text{Hg}} - \gamma_{\text{água}} = 133416 - 9810 = 123606\\ \mathrm{N/m^3}.á
  • Agora calcule cada termo da fórmula -\gamma_{\text{água}}\,\Delta z = -9810\cdot 0{,}76 = -7455{,}6\\ \mathrm{Pa}.á
(\gamma_{\text{Hg}} - \gamma_{\text{água}})\,\Delta h = 123606\cdot 0{,}15 = 18540{,}9\\ \mathrm{Pa}.á
  • Somando os termos: p_A - p_B = -7455{,}6 + 18540{,}9 = 11085{,}3\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter para kPa e arredondar com 3 algarismos significativos: p_A - p_B \approx 11{,}1\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Interpretação curta e dica para prova: o resultado positivo indica que p_A>p_B. Na prova, memorize a forma sistemática de “baixar” a pressão até o nível do mercúrio em cada braço, usar a relação no fluido contínuo (aqui o mercúrio) e eliminar as pressões intermediárias — isso dá sempre a expressão do tipo
p_A - p_B = -\gamma_{\text{água}}\Delta z + (\gamma_{\text{Hg}}-\gamma_{\text{água}})\Delta h.áá
Pratique com sinais e com casos onde o mercúrio fica mais alto do outro lado para não errar o sinal de \Delta h.

Resposta

11{,}1\\ \mathrm{kPa}

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