Um tanque de ar comprimido apresenta volume igual a 2,38 \times 10^{-2} \mathrm{~m}^{3}. Determine a massa especifica e a força peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340 KPa . Admita que a temperatura do ar no tanque e igual a 15^{\circ} \mathrm{C}
P=0 \pi T^{T} Propriedades Fisicas Aproximadas de Alquns Gases
Temperatura \boldsymbol{T} \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) Massa Especifica \rho \left.0 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right) Viscosidude Dinfamica \mu ( \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) Constants do Gis* R (J / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) Radac entre os Calores Especificos* k
Ar (padrlo) 15 1,23 \mathrm{E}+0 1,79 E-5 2,869 E+2 1,40
Dióxido de Carbono 20 1,83 \mathrm{E}+0 1.47 E-5 1,889 E*2 1,30
Helio 20 1.66 \mathrm{E}-1 1.94 E-5 2,077 E*3 1,66
Hidrogetio 20 8,38 \mathrm{E}-2 8.84 E-6 4,124 \mathrm{E} * 3 1,41
Metano (gis natural) 20 6.67 E-1 1.10 E-5 5,183 \mathrm{E} * 2 1.31
Nitrogenio 20 1.16 \mathrm{E}+0 1.76 \mathrm{E}-5 2,968 E+2 1.40
Oxigénio 20 1.33 E+0 2.04 E-5 2,598 E+2 1,40
Os valores da constante do gis săo independentes da temperatura.
Dados:
Pressão atmosférica : 1 \mathrm{~atm}=101,3 \mathrm{KPa}
Constante do Gás: Consultar Tabela de propriedades fisicas

Passo 1

O que o problema pede e dados fornecidos.
  • Perguntas: determinar (a) a massa específica do ar dentro do tanque e (b) a força peso do ar contido no tanque.
  • Dados fornecidos: V = 2,38 \times 10^{-2}\\ \mathrm{m}^3
\text{pressão relativa (gauge)} = 340\\ \mathrm{kPa}ã
\text{pressão atmosférica} = 1\\ \text{atm} = 101,3\\ \mathrm{kPa}ãé
T = 15^\circ\mathrm{C}
Da tabela (propriedades do ar) vamos usar a constante do gás:
R = 2,869\times 10^{2}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
  • Observações úteis (já assumidas): usarei g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
    Nada mais será perguntado — já tenho todos os dados necessários para resolver.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar — Lei dos gases ideais e relação com massa específica.
  • A forma conveniente da lei dos gases para densidade é:
    p = \rho R T
    onde:
    • p é a pressão absoluta do gás (em \mathrm{Pa}),
    • \rho é a massa específica (densidade) em \mathrm{kg/m^3},
    • R é a constante específica do gás em \mathrm{J/(kg\cdot K)},
    • T é a temperatura absoluta em \mathrm{K}.
  • Isolando \rho obtemos a fórmula que usaremos:
    \rho = \frac{p}{R\,T}
    Explicação: a equação vem de pV = mRT; dividindo ambos os lados por V e por R T vem \rho=m/V=p/(RT). Assim a densidade depende de p e T.

Passo 3

Converter unidades e obter a pressão absoluta e a temperatura em Kelvin.
  • Temperatura:
    T = 15^\circ\mathrm{C} = 15 + 273,15 = 288,15\\ \mathrm{K}
  • Pressão absoluta (soma de atmosférica + relativa):
    p_{\text{abs}} = 101,3\\ \mathrm{kPa} + 340\\ \mathrm{kPa} = 441,3\\ \mathrm{kPa}
    Converter para Pascal ( 1\\ \mathrm{kPa}=10^3\\ \mathrm{Pa}):
    p = 441,3\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 441300\\ \mathrm{Pa}

Passo 4

Calcular a massa específica \rho usando \rho = \dfrac{p}{R\,T}.
  • Substituindo valores: \rho = \frac{441300}{(2,869\times 10^{2})\times 288,15}\\ \mathrm{kg/m^3}
  • Calcular o denominador passo a passo: (2,869\times 10^{2})\times 288,15 = 286,9\times 288,15 = 82670{,}235
  • Agora a divisão: \rho = \frac{441300}{82670{,}235} \approx 5{,}34\\ \mathrm{kg/m^3}(arredondado a três algarismos significativos; interpretação: a densidade do ar sob essa pressão e temperatura é cerca de 5{,}34\\ \mathrm{kg/m^3}.)

Passo 5

Calcular a massa de ar contida no tanque (passo intermediário útil para obter a força peso).
  • Fórmula: m = \rho \, V
  • Substituindo: m = 5{,}3377\ldots \times 2,38\times 10^{-2}\\ \mathrm{kg}(usei o valor não arredondado de \rho para maior precisão interna)
  • Cálculo: m \approx 0{,}1270\\ \mathrm{kg}(arredondado a quatro algarismos significativos; aproximadamente 0{,}127\\ \mathrm{kg}.)

Passo 6

Calcular a força peso W do ar (peso = massa × aceleração da gravidade).
  • Fórmula: W = m\,g
  • Substituindo: W \approx 0{,}1270 \times 9{,}81\\ \mathrm{N}
  • Cálculo: W \approx 1{,}25\\ \mathrm{N}(arredondado a três algarismos significativos.)

Passo 7

Pequeno resumo e verificação rápida de plausibilidade.
  • A densidade encontrada ( \approx 5{,}34\\ \mathrm{kg/m^3}) faz sentido: é cerca de 441{,}3/101{,}3\approx 4{,}35 vezes a densidade do ar à pressão atmosférica, e 1{,}23\times 4{,}35\approx 5{,}35, compatível com os números.
  • A força peso é pequena porque o volume do tanque é pequeno; 1{,}25\\ \mathrm{N} é plausível para cerca de 0{,}127\\ \mathrm{kg} de ar.

Resposta

\rho = 5{,}34\\ \mathrm{kg/m^3}
W = 1{,}25\\ \mathrm{N}

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