Um reservatório possui área da base igual a 0,4 \mathrm{~m}^{2}, e altura de 1 m . Nesse reservatório foram inseridos 160 litros de glicerina (\delta_{\text {Glicerina }}=1,26), 100 litros de água (\gamma_{\mathrm{H} 2 \mathrm{O}}=1000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}), e 120 litros de óleo (\delta_{\text {óleo }}=0,75)ó. Foi instalado, na parte inferior do reservatório, um manômetro em U, com mercúrio como fluido manométrico. Determine a deflexão b no manômetro em U considerando que a pressão no manômetro de Bourdon é de 0,5 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. (Dados: \mathrm{c}=70 \mathrm{~mm}, \delta \mathrm{Hg}=13,6 \mathrm{e} \rho a r=1,22 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). Nota: Antes
de inserir os fluidos (tanque vazio) o nível inicial do mercúrio é a=20 \mathrm{~mm} abaixo da conexão. Re: b=22 \mathrm{~cm}

Passo 1

O que o problema pede: determinar a deflexão b do nível do mercúrio no manômetro em U (altura medida na perna direita a partir da conexão), sabendo que a pressão no reservatório (medida pelo manômetro de Bourdon) é de 0{,}5\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Dados fornecidos (peguei c e a da figura):
  • Área da base do reservatório: A=0{,}4\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Altura do reservatório: 1{,}0\\ \mathrm{m} (verificação: o total dos fluidos é menor que isso).
  • Volumes inseridos:
    • glicerina: V_{g}=160\\ \mathrm{L}=0{,}160\\ \mathrm{m^{3}}, \delta_{\text{glicerina}}=1{,}26.
    • água: V_{w}=100\\ \mathrm{L}=0{,}100\\ \mathrm{m^{3}}, \gamma_{\mathrm{H_2O}}=1000\\ \mathrm{kgf/m^{3}}.
    • óleo: V_{o}=120\\ \mathrm{L}=0{,}120\\ \mathrm{m^{3}}, \delta_{\text{óleo}}=0{,}75ó.
  • Conexão do manômetro: c=70\\ \mathrm{mm}=0{,}07\\ \mathrm{m} (distância do fundo até a conexão) — dado na imagem.
  • Nível inicial do mercúrio (tanque vazio): a=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m} abaixo da conexão — dado na imagem.
  • Pressão indicada pelo manômetro de Bourdon (pressão do gás acima do fluido): p_{\text{gauge}}=0{,}5\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
  • Dados do mercúrio e ar:
    • \delta_{\mathrm{Hg}}=13{,}6 \Rightarrow \gamma_{\mathrm{Hg}}=13{,}6\times 1000=13600\\ \mathrm{kgf/m^{3}}.
    • densidade do ar (fornecida): \rho_{ar}=1{,}22\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Usaremos numericamente como \gamma_{ar}=1{,}22\\ \mathrm{kgf/m^{3}} (unidades consistentes no sistema kgf).
  • Observação sobre unidades: os valores de densidade/peso estão em \mathrm{kgf/m^{3}}, portanto produtos \gamma\cdot h dão pressões em \mathrm{kgf/m^{2}}. Também precisaremos converter p_{\text{gauge}} de \mathrm{kgf/cm^{2}} para \mathrm{kgf/m^{2}}.

Passo 2

Determinar as alturas das camadas a partir dos volumes e da área da base. Fórmula básica: h=V/A. Faço as contas:
  • glicerina: h_{g}=\frac{V_{g}}{A}=\frac{0{,}160}{0{,}4}=0{,}40\\ \mathrm{m}.
  • água: h_{w}=\frac{V_{w}}{A}=\frac{0{,}100}{0{,}4}=0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • óleo: h_{o}=\frac{V_{o}}{A}=\frac{0{,}120}{0{,}4}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
Verificação: altura total \,0{,}40+0{,}25+0{,}30=0{,}95\\ \mathrm{m}\,<1{,}0\\ \mathrm{m} — ok, cabe no reservatório.

Passo 3

Determinar a ordem das camadas e quais espessuras estão acima da conexão (a conexão está a c=0{,}07\\ \mathrm{m} do fundo). Regra física: fluidos mais densos ficam abaixo. Como \delta_{\text{glicerina}}=1{,}26>1{,}00>\delta_{\text{óleo}}=0{,}75ó, a ordem de baixo para cima é:
  • fundo até 0{,}40\\ \mathrm{m}: glicerina ( h_g=0{,}40\\ \mathrm{m});
  • de 0{,}40 a 0{,}65\\ \mathrm{m}: água ( h_w=0{,}25\\ \mathrm{m});
  • de 0{,}65 a 0{,}95\\ \mathrm{m}: óleo ( h_o=0{,}30\\ \mathrm{m});
    a superfície livre está em 0{,}95\\ \mathrm{m} acima do fundo.
A conexão está em z_{\text{conn}}=c=0{,}07\\ \mathrm{m} acima do fundo, portanto está dentro da camada de glicerina. A distância vertical entre a superfície livre e a conexão (altura total de fluido acima da conexão) é
H_{\text{acima}}=0{,}95-0{,}07=0{,}88\\ \mathrm{m}.
Separando por camadas acima da conexão:
  • porção de glicerina acima da conexão: h_{g,\text{acima}}=0{,}40-0{,}07=0{,}33\\ \mathrm{m},
  • água inteira acima: h_{w,\text{acima}}=0{,}25\\ \mathrm{m},
  • óleo inteira acima: h_{o,\text{acima}}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
    Confere: 0{,}33+0{,}25+0{,}30=0{,}88\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Pressão no ponto de conexão (em relação à atmosfera). A pressão na superfície livre é a pressão do gás no topo do reservatório: p_{\text{top}}=p_{\text{atm}}+p_{\text{gauge}}. Então a pressão no ponto de conexão é:
p_{\text{conn}}=p_{\text{top}}+\gamma_{o}\,h_{o,\text{acima}}+\gamma_{w}\,h_{w,\text{acima}}+\gamma_{g}\,h_{g,\text{acima}}.
A diferença em relação à atmosfera é
\Delta p \equiv p_{\text{conn}}-p_{\text{atm}}=p_{\text{gauge}}+\gamma_{o}h_{o,\text{acima}}+\gamma_{w}h_{w,\text{acima}}+\gamma_{g}h_{g,\text{acima}}.
Converter p_{\text{gauge}} para \mathrm{kgf/m^{2}}:
p_{\text{gauge}}=0{,}5\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}=0{,}5\times 10^{4}=5000\\ \mathrm{kgf/m^{2}}.
As gammas (peso específico) que usaremos:
\gamma_{w}=1000\\ \mathrm{kgf/m^{3}},\quad \gamma_{g}=1{,}26\times 1000=1260\\ \mathrm{kgf/m^{3}},\quad \gamma_{o}=0{,}75\times 1000=750\\ \mathrm{kgf/m^{3}}.
Calcule as contribuições:
\gamma_{o}h_{o,\text{acima}}=750\times 0{,}30=225\\ \mathrm{kgf/m^{2}},
\gamma_{w}h_{w,\text{acima}}=1000\times 0{,}25=250\\ \mathrm{kgf/m^{2}},
\gamma_{g}h_{g,\text{acima}}=1260\times 0{,}33=415{,}8\\ \mathrm{kgf/m^{2}}.
Somando:
\gamma_{o}h_{o}+\gamma_{w}h_{w}+\gamma_{g}h_{g}=225+250+415{,}8=890{,}8\\ \mathrm{kgf/m^{2}}.
Portanto
\Delta p=5000+890{,}8=5890{,}8\\ \mathrm{kgf/m^{2}}.

Passo 5

Relação de equilíbrio no manômetro em U (considerando deslocamento do mercúrio).
Explicação física: nas duas superfícies do mercúrio (perna esquerda em contato com a glicerina e perna direita exposta ao ar), a pressão em um mesmo nível dentro do mercúrio é igual. Fazendo balanço hidrostático indo da superfície direita (aberta ao ar) até a superfície esquerda, obtemos uma relação entre p_{\text{conn}}, p_{\text{atm}}, as alturas das superfícies de mercúrio e os pesos específicos dos fluidos acima das superfícies.
Seja b a altura da superfície do mercúrio na perna direita acima da conexão (o que o problema pede). Seja y a distância da conexão até a superfície do mercúrio na perna esquerda (abaixo da conexão). Inicialmente, com tanque vazio, a perna esquerda está a=0{,}02\\ \mathrm{m} abaixo da conexão. Quando a superfície direita sobe uma quantidade b, a perna esquerda desce a mesma quantidade (manômetro simétrico, volumes iguais), logo a superfície esquerda final fica a
y=a+b.
Agora escrevemos o equilíbrio de pressão entre as superfícies do mercúrio:
pressão na superfície esquerda (pressão do líquido em contato com o mercúrio à esquerda) menos pressão na superfície direita (pressão do ar na perna direita no nível superior do tubo) deve equilibrar a diferença de pressão causada pela coluna de mercúrio entre as superfícies:
\big(p_{\text{conn}}+\gamma_{g}\,y\big)-\big(p_{\text{atm}}+\gamma_{ar}\,b\big)=\gamma_{\mathrm{Hg}}\,(b+y).
Explicando cada termo:
  • p_{\text{conn}}+\gamma_{g}y é a pressão na superfície esquerda do mercúrio: começa em p_{\text{conn}} (pressão no nível da conexão) e ao descer y pela glicerina a pressão aumenta de \gamma_{g}y.
  • p_{\text{atm}}+\gamma_{ar}b é a pressão na superfície direita do mercúrio: começa em p_{\text{atm}} no topo aberto e ao descer b pela coluna de ar até a superfície do mercúrio a pressão aumenta de \gamma_{ar}b.
  • O lado direito \gamma_{\mathrm{Hg}}(b+y) é o aumento de pressão ao descermos dentro do mercúrio desde a superfície direita até a superfície esquerda (diferença de alturas b+y).
Rearranjando para \Delta p=p_{\text{conn}}-p_{\text{atm}}:
\Delta p=\gamma_{\mathrm{Hg}}(b+y)+\gamma_{ar}b-\gamma_{g}y.
Substituindo y=a+b:
\Delta p=\gamma_{\mathrm{Hg}}(b+a+b)+\gamma_{ar}b-\gamma_{g}(a+b).
Agrupando termos em b e termos com a:
\Delta p=(2\gamma_{\mathrm{Hg}}+\gamma_{ar}-\gamma_{g})\,b + a(\gamma_{\mathrm{Hg}}-\gamma_{g}).
Note: tomei cuidado em mostrar de onde vem cada termo (colunas de fluido e a relação entre deslocamentos).
Isolando b:
b=\frac{\Delta p - a(\gamma_{\mathrm{Hg}}-\gamma_{g})}{2\gamma_{\mathrm{Hg}}+\gamma_{ar}-\gamma_{g}}.

Passo 6

Substituir numericamente todos os termos.
Valores numéricos:
\gamma_{\mathrm{Hg}}=13600\\ \mathrm{kgf/m^{3}},\quad \gamma_{g}=1260\\ \mathrm{kgf/m^{3}},\quad \gamma_{ar}=1{,}22\\ \mathrm{kgf/m^{3}},
\Delta p=5890{,}8\\ \mathrm{kgf/m^{2}},\quad a=0{,}02\\ \mathrm{m}.
Calcule o numerador:
a(\gamma_{\mathrm{Hg}}-\gamma_{g})=0{,}02(13600-1260)=0{,}02(12340)=246{,}8\\ \mathrm{kgf/m^{2}}.
\Delta p - a(\gamma_{\mathrm{Hg}}-\gamma_{g})=5890{,}8-246{,}8=5644{,}0\\ \mathrm{kgf/m^{2}}.
Denominador:
2\gamma_{\mathrm{Hg}}+\gamma_{ar}-\gamma_{g}=2(13600)+1{,}22-1260=27200+1{,}22-1260=25941{,}22\\ \mathrm{kgf/m^{3}}.
Logo
b=\frac{5644{,}0}{25941{,}22}=0{,}2176\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação. Convertendo para centímetros:
b\approx 0{,}2176\\ \mathrm{m}=21{,}76\\ \mathrm{cm}\approx 22\\ \mathrm{cm}.
Isso confere com a referência indicada no enunciado.

Resposta

b = 0,218 m (≈ 22 cm)

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