Um reservatório possui área da base igual a
, e altura de 1 m . Nesse reservatório foram inseridos 160 litros de glicerina
, 100 litros de água
, e 120 litros de óleo
. Foi instalado, na parte inferior do reservatório, um manômetro em
, com mercúrio como fluido manométrico. Determine a deflexão b no manômetro em U considerando que a pressão no manômetro de Bourdon é de
. (Dados:
). Nota: Antes
de inserir os fluidos (tanque vazio) o nível inicial do mercúrio é
abaixo da conexão. Re:
de inserir os fluidos (tanque vazio) o nível inicial do mercúrio é
Passo 1
O que o problema pede: determinar a deflexão
do nível do mercúrio no manômetro em U (altura medida na perna direita a partir da conexão), sabendo que a pressão no reservatório (medida pelo manômetro de Bourdon) é de
.
Dados fornecidos (peguei
e
da figura):
- Área da base do reservatório:
. - Altura do reservatório:
(verificação: o total dos fluidos é menor que isso). - Volumes inseridos:
- glicerina:
, . - água:
, . - óleo:
, .
- glicerina:
- Conexão do manômetro:
(distância do fundo até a conexão) — dado na imagem. - Nível inicial do mercúrio (tanque vazio):
abaixo da conexão — dado na imagem. - Pressão indicada pelo manômetro de Bourdon (pressão do gás acima do fluido):
. - Dados do mercúrio e ar:
-
. - densidade do ar (fornecida):
. Usaremos numericamente como (unidades consistentes no sistema kgf).
-
- Observação sobre unidades: os valores de densidade/peso estão em
, portanto produtos dão pressões em . Também precisaremos converter de para .
Passo 2
Determinar as alturas das camadas a partir dos volumes e da área da base. Fórmula básica:
. Faço as contas:
- glicerina:
- água:
- óleo:
Verificação: altura total
— ok, cabe no reservatório.
Passo 3
Determinar a ordem das camadas e quais espessuras estão acima da conexão (a conexão está a
do fundo). Regra física: fluidos mais densos ficam abaixo. Como
, a ordem de baixo para cima é:
- fundo até
: glicerina ( ); - de
a : água ( ); - de
a : óleo ( );
a superfície livre está emacima do fundo.
A conexão está em
acima do fundo, portanto está dentro da camada de glicerina. A distância vertical entre a superfície livre e a conexão (altura total de fluido acima da conexão) é
Separando por camadas acima da conexão:
- porção de glicerina acima da conexão:
, - água inteira acima:
, - óleo inteira acima:
.
Confere:.
Passo 4
Pressão no ponto de conexão (em relação à atmosfera). A pressão na superfície livre é a pressão do gás no topo do reservatório:
. Então a pressão no ponto de conexão é:
A diferença em relação à atmosfera é
Converter
para
:
As gammas (peso específico) que usaremos:
Calcule as contribuições:
Somando:
Portanto
Passo 5
Relação de equilíbrio no manômetro em U (considerando deslocamento do mercúrio).
Explicação física: nas duas superfícies do mercúrio (perna esquerda em contato com a glicerina e perna direita exposta ao ar), a pressão em um mesmo nível dentro do mercúrio é igual. Fazendo balanço hidrostático indo da superfície direita (aberta ao ar) até a superfície esquerda, obtemos uma relação entre
,
, as alturas das superfícies de mercúrio e os pesos específicos dos fluidos acima das superfícies.
Seja
a altura da superfície do mercúrio na perna direita acima da conexão (o que o problema pede). Seja
a distância da conexão até a superfície do mercúrio na perna esquerda (abaixo da conexão). Inicialmente, com tanque vazio, a perna esquerda está
abaixo da conexão. Quando a superfície direita sobe uma quantidade
, a perna esquerda desce a mesma quantidade (manômetro simétrico, volumes iguais), logo a superfície esquerda final fica a
Agora escrevemos o equilíbrio de pressão entre as superfícies do mercúrio:
pressão na superfície esquerda (pressão do líquido em contato com o mercúrio à esquerda) menos pressão na superfície direita (pressão do ar na perna direita no nível superior do tubo) deve equilibrar a diferença de pressão causada pela coluna de mercúrio entre as superfícies:
pressão na superfície esquerda (pressão do líquido em contato com o mercúrio à esquerda) menos pressão na superfície direita (pressão do ar na perna direita no nível superior do tubo) deve equilibrar a diferença de pressão causada pela coluna de mercúrio entre as superfícies:
Explicando cada termo:
-
é a pressão na superfície esquerda do mercúrio: começa em (pressão no nível da conexão) e ao descer pela glicerina a pressão aumenta de . -
é a pressão na superfície direita do mercúrio: começa em no topo aberto e ao descer pela coluna de ar até a superfície do mercúrio a pressão aumenta de . - O lado direito
é o aumento de pressão ao descermos dentro do mercúrio desde a superfície direita até a superfície esquerda (diferença de alturas ).
Rearranjando para
:
Substituindo
:
Agrupando termos em
e termos com
:
Note: tomei cuidado em mostrar de onde vem cada termo (colunas de fluido e a relação entre deslocamentos).
Isolando
:
Passo 6
Substituir numericamente todos os termos.
Valores numéricos:
Calcule o numerador:
Denominador:
Logo
Passo 7
Arredondamento e interpretação. Convertendo para centímetros:
Isso confere com a referência indicada no enunciado.
Resposta
b = 0,218 m (≈ 22 cm)