Água \left(\rho=998 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right) escoa em regime permanente em um tubo horizontal e o jato de água é jogado na atmosfera. Determine:
(a) A componente R_{x} da força de ancoragem;
(b) A pressão na entrada;
(c) O número mínimo de parafusos necessários que um flange deve possuir para suportar o esforço na entrada do escoamento. Considere que cada parafuso forneça 15 N .

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. A componente \,R_x, da força de ancoragem (ou seja, a força horizontal que o conjunto de ancoragem/flange precisa suportar).
  2. A pressão na entrada do tubo.
  3. O número mínimo de parafusos que o flange deve possuir, sabendo que cada parafuso fornece 15\\ \mathrm{N}.
Informações fornecidas pelo enunciado:
\rho = 998\\ \mathrm{kg/m^3},
escoamento em regime permanente, tubo horizontal, o jato sai para a atmosfera (logo a pressão no jato, fora do tubo, é a pressão atmosférica).
Informações que NÃO foram fornecidas (são necessárias para calcular valores numéricos):
  • velocidade do jato na saída \,V_2, ou vazão volumétrica \,Q,;
  • área da seção na entrada \,A_1, e/ou área da seção do jato na saída \,A_2, (ou relações entre A_1 e A_2);
  • velocidade na entrada \,V_1, (se diferente de V_2) ou outras perdas/hidráulicas se for para considerar atrito.
Sem pelo menos a vazão/velocidades e as áreas não é possível entregar resultados numéricos. A resolução abaixo mostra como calcular cada item passo a passo e quais dados exatos você precisaria medir ou que provavelmente estavam na figura do enunciado.

Passo 2

Definimos um volume de controle que engloba o fluido dentro do tubo e o jato até uma seção plana de saída onde o jato já está em contato com a atmosfera. Escolhemos o eixo x na direção do escoamento (para a direita). Vou explicar a física e as equações que vamos usar, com sinais e convenções bem claros.
Conservação de massa (continuidade) para escoamento incompressível e em regime permanente:
\dot{m} = \rho Q = \rho A_1 V_1 = \rho A_2 V_2,
onde:
  • \dot{m} é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s});
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s});
  • A_1 e A_2 são as áreas das seções de entrada e saída ( \mathrm{m^2});
  • V_1 e V_2 são as velocidades médias nessas seções ( \mathrm{m/s}).
Isso garante que a massa que entra por unidade de tempo é igual à massa que sai.

Passo 3

Agora a conservação de quantidade de movimento (equação integral do momento) na direção x, para regime permanente, sem acumulação de quantidade de movimento dentro do volume de controle:
\sum F_x = \sum \dot{m}_{out} V_{x,out} - \sum \dot{m}_{in} V_{x,in}.
Aqui \sum F_x é a soma das forças externas na direção x que atuam sobre o fluido dentro do volume de controle. Precisamos identificar essas forças:
  • força de pressão na face de entrada: sobre a face interna do tubo atua a pressão de entrada p_1 numa área A_1; essa pressão empurra o fluido na direção positiva x com magnitude p_1 A_1;
  • força de pressão na saída: a seção do jato está exposta à pressão atmosférica p_{atm} numa área A_2; a pressão atmosférica empurra a face de saída no sentido negativo (oposto ao fluxo) com magnitude p_{atm} A_2 quando considerada como força externa sobre o fluido;
  • força de ancoragem (reação) \,R_x, entre o suporte/flange e o fluido (a força que o suporte aplica sobre o fluido na direção x). Se quisermos a força que o fluido aplica sobre a tubulação (o esforço que os parafusos devem resistir), ela terá o mesmo módulo com sinal oposto. Vou trabalhar escrevendo a equação para as forças sobre o fluido, e depois interpretamos o sinal para a ancoragem.
Assim, somando as forças externas na direção x (positivas para a direita):
p_1 A_1 - p_{atm} A_2 + R_x = \dot{m} (V_2 - V_1).
Explicando os termos:
  • p_1 A_1 é a força devido à pressão na entrada (empurrando o fluido para a direita);
  • -p_{atm} A_2 é a força de pressão na saída (empurrando para a esquerda);
  • R_x é a força que o suporte (âncora) aplica no fluido; se R_x>0 significa que o suporte empurra o fluido para a direita; o fluido então empurra o suporte com força -R_x.

Passo 4

Isolamos \,R_x, da equação do momento:
R_x = \dot{m} (V_2 - V_1) - p_1 A_1 + p_{atm} A_2.
Substituindo \dot{m} = \rho A_1 V_1 = \rho A_2 V_2 se for útil. Essa expressão é a forma geral: para avaliar numericamente você precisa de \rho, A_1, A_2, V_1, V_2, p_1 (ou relações entre eles).
Interpretação prática e sinal: normalmente se o fluido acelera ao sair ( V_2>V_1) o termo de momento tende a empurrar a tubulação para a direita, gerando uma reação contrária na ancoragem. Na prática, o que se costuma pedir é a força que o tubo sofre (o esforço na tubulação), que é a força que o fluido aplica sobre o suporte: \,F_{fix} = -R_x. Se preferir, após calcular R_x pela fórmula acima, o esforço no flange que os parafusos têm de resistir é |R_x|.

Passo 5

Agora relacionamos a pressão na entrada p_1 com velocidades usando Bernoulli (explicando a fórmula e suas hipóteses). Para escoamento incompressível, sem variação de elevação (tubo horizontal) e se desprezarmos perdas por atrito entre entrada e a seção onde o jato está exposto à atmosfera, o Bernoulli entre a entrada (ponto 1) e a seção livre do jato (ponto 2) dá:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho V_1^2 = p_{atm} + \tfrac{1}{2}\rho V_2^2.
Reorganizando para p_1:
p_1 = p_{atm} + \tfrac{1}{2}\rho \left(V_2^2 - V_1^2\right).
Explicação didática: o termo \tfrac{1}{2}\rho V^2 é a pressão dinâmica associada à velocidade do fluido; Bernoulli diz que a soma da pressão estática p e da pressão dinâmica se conserva ao longo de uma linha de corrente quando não há perdas — por isso podemos relacionar p_1 e p_{atm} com as velocidades.
Se houver perdas (perda de carga h_L ou diferença de pressão por atrito), a expressão vira
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho V_1^2 = p_{atm} + \tfrac{1}{2}\rho V_2^2 + \rho g h_L,
e então
p_1 = p_{atm} + \tfrac{1}{2}\rho (V_2^2 - V_1^2) + \rho g h_L.
Mas para muitos exercícios introdutórios a perda é desprezada.

Passo 6

Substituímos a expressão de p_1 obtida por Bernoulli na expressão de R_x para obter uma fórmula em termos de velocidades e áreas (eliminação de p_1). Usando a versão sem perdas:
R_x = \dot{m}(V_2 - V_1) - \biggl( p_{atm} + \tfrac{1}{2}\rho (V_2^2 - V_1^2) \biggr) A_1 + p_{atm} A_2.
Podemos reorganizar e notar que p_{atm} aparece em dois termos:
R_x = \dot{m}(V_2 - V_1) - p_{atm} A_1 - \tfrac{1}{2}\rho (V_2^2 - V_1^2)A_1 + p_{atm} A_2.
Ou, agrupando os termos de pressão atmosférica:
R_x = \dot{m}(V_2 - V_1) + p_{atm}(A_2 - A_1) - \tfrac{1}{2}\rho (V_2^2 - V_1^2)A_1.
Se preferir trabalhar em pressões manométricas (tomando p_{atm} como referência zero), as fórmulas ficam mais simples: usar p_{atm}=0 no cálculo de p_1 e manter coerência no balanço. Em muitos problemas A_1=A_2 (mesma seção) ou V_1=V_2 (seção constante), o que simplifica bastante.

Passo 7

Cálculo do número de parafusos. Depois de obter o módulo da força que o flange precisa resistir, F_{fix} = |R_x|, o número mínimo de parafusos N (cada um fornecendo 15\\ \mathrm{N}) é:
N = \left\lceil \dfrac{|R_x|}{15\\ \mathrm{N}} \right\rceil,
onde \lceil \cdot \rceil significa arredondamento para cima (pois precisamos de um número inteiro de parafusos e a soma da capacidade deve ser pelo menos a força). Observação: em projetos reais deve-se incluir coeficiente de segurança, mas aqui usamos a informação dada.

Passo 8

Resumo prático do que você tem de medir/ler na figura para aplicar as fórmulas:
  • meça/pegue A_1 e A_2 (ou os diâmetros D_1 e D_2);
  • meça/pegue a velocidade V_2 do jato (ou a vazão Q, então V_2=Q/A_2);
  • calcule V_1 pela continuidade: V_1 = \dfrac{\rho A_2 V_2}{\rho A_1} = \dfrac{A_2}{A_1}V_2 ou diretamente V_1 = Q/A_1;
  • calcule \dot{m}=\rho A_1 V_1;
  • aplique as fórmulas do Passo 4 (para R_x) e do Passo 5 (para p_1);
  • por fim calcule N pelo Passo 7.
Exemplo numérico ilustrativo (APENAS para mostrar procedimento — não use como resposta do seu enunciado se os dados forem outros):
Suponha hipoteticamente A_1=A_2 e V_1=2\\ \mathrm{m/s}, V_2=4\\ \mathrm{m/s}, \rho=998\\ \mathrm{kg/m^3} e p_{atm}=0 (gauge). Então \dot{m}=\rho A V_1. Eliminando A (pois aparece fator comum) obtemos:
R_x/A = \rho V_1 (V_2 - V_1) - p_1 + p_{atm}\quad\text{e}\quad p_1 = p_{atm} + \tfrac{1}{2}\rho(V_2^2-V_1^2).
Substituindo os números daria um valor numérico para R_x que depois dividiríamos por 15\\ \mathrm{N} para obter N. Mas reforço: esses números são só um exemplo de procedimento.

Resposta

(a) \displaystyle R_x = \dot{m}\,(V_2 - V_1) - p_1 A_1 + p_{atm} A_2, com \dot{m}=\rho A_1 V_1=\rho A_2 V_2.\n
(b) \displaystyle p_1 = p_{atm} + \tfrac{1}{2}\rho\,(V_2^2 - V_1^2) (sem considerar perdas). \n
(c) \displaystyle N = \left\lceil \dfrac{|R_x|}{15\\ \mathrm{N}} \right\rceil.\n
Não é possível fornecer valores numéricos porque faltam no enunciado a vazão/velocidades \,V_1 e/ou \,V_2 (ou áreas \,A_1 e \,A_2) necessárias para avaliar \dot{m}, p_1 e R_x.

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