Água
escoa em regime permanente em um tubo horizontal e o jato de água é jogado na atmosfera. Determine:
(a) A componente
da força de ancoragem;
(b) A pressão na entrada;
(c) O número mínimo de parafusos necessários que um flange deve possuir para suportar o esforço na entrada do escoamento. Considere que cada parafuso forneça 15 N .
(a) A componente
(b) A pressão na entrada;
(c) O número mínimo de parafusos necessários que um flange deve possuir para suportar o esforço na entrada do escoamento. Considere que cada parafuso forneça 15 N .
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- A componente
, da força de ancoragem (ou seja, a força horizontal que o conjunto de ancoragem/flange precisa suportar). - A pressão na entrada do tubo.
- O número mínimo de parafusos que o flange deve possuir, sabendo que cada parafuso fornece
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
escoamento em regime permanente, tubo horizontal, o jato sai para a atmosfera (logo a pressão no jato, fora do tubo, é a pressão atmosférica).
Informações que NÃO foram fornecidas (são necessárias para calcular valores numéricos):
- velocidade do jato na saída
, ou vazão volumétrica ,; - área da seção na entrada
, e/ou área da seção do jato na saída , (ou relações entre e ); - velocidade na entrada
, (se diferente de ) ou outras perdas/hidráulicas se for para considerar atrito.
Sem pelo menos a vazão/velocidades e as áreas não é possível entregar resultados numéricos. A resolução abaixo mostra como calcular cada item passo a passo e quais dados exatos você precisaria medir ou que provavelmente estavam na figura do enunciado.
Passo 2
Definimos um volume de controle que engloba o fluido dentro do tubo e o jato até uma seção plana de saída onde o jato já está em contato com a atmosfera. Escolhemos o eixo
na direção do escoamento (para a direita). Vou explicar a física e as equações que vamos usar, com sinais e convenções bem claros.
Conservação de massa (continuidade) para escoamento incompressível e em regime permanente:
onde:
-
é a vazão mássica ( ); -
é a vazão volumétrica ( ); -
e são as áreas das seções de entrada e saída ( ); -
e são as velocidades médias nessas seções ( ).
Isso garante que a massa que entra por unidade de tempo é igual à massa que sai.
Passo 3
Agora a conservação de quantidade de movimento (equação integral do momento) na direção
, para regime permanente, sem acumulação de quantidade de movimento dentro do volume de controle:
Aqui
é a soma das forças externas na direção
que atuam sobre o fluido dentro do volume de controle. Precisamos identificar essas forças:
- força de pressão na face de entrada: sobre a face interna do tubo atua a pressão de entrada
numa área ; essa pressão empurra o fluido na direção positiva com magnitude ; - força de pressão na saída: a seção do jato está exposta à pressão atmosférica
numa área ; a pressão atmosférica empurra a face de saída no sentido negativo (oposto ao fluxo) com magnitude quando considerada como força externa sobre o fluido; - força de ancoragem (reação)
, entre o suporte/flange e o fluido (a força que o suporte aplica sobre o fluido na direção ). Se quisermos a força que o fluido aplica sobre a tubulação (o esforço que os parafusos devem resistir), ela terá o mesmo módulo com sinal oposto. Vou trabalhar escrevendo a equação para as forças sobre o fluido, e depois interpretamos o sinal para a ancoragem.
Assim, somando as forças externas na direção
(positivas para a direita):
Explicando os termos:
-
é a força devido à pressão na entrada (empurrando o fluido para a direita); -
é a força de pressão na saída (empurrando para a esquerda); -
é a força que o suporte (âncora) aplica no fluido; se significa que o suporte empurra o fluido para a direita; o fluido então empurra o suporte com força .
Passo 4
Isolamos
, da equação do momento:
Substituindo
se for útil. Essa expressão é a forma geral: para avaliar numericamente você precisa de
(ou relações entre eles).
Interpretação prática e sinal: normalmente se o fluido acelera ao sair (
) o termo de momento tende a empurrar a tubulação para a direita, gerando uma reação contrária na ancoragem. Na prática, o que se costuma pedir é a força que o tubo sofre (o esforço na tubulação), que é a força que o fluido aplica sobre o suporte:
. Se preferir, após calcular
pela fórmula acima, o esforço no flange que os parafusos têm de resistir é
.
Passo 5
Agora relacionamos a pressão na entrada
com velocidades usando Bernoulli (explicando a fórmula e suas hipóteses). Para escoamento incompressível, sem variação de elevação (tubo horizontal) e se desprezarmos perdas por atrito entre entrada e a seção onde o jato está exposto à atmosfera, o Bernoulli entre a entrada (ponto 1) e a seção livre do jato (ponto 2) dá:
Reorganizando para
:
Explicação didática: o termo
é a pressão dinâmica associada à velocidade do fluido; Bernoulli diz que a soma da pressão estática
e da pressão dinâmica se conserva ao longo de uma linha de corrente quando não há perdas — por isso podemos relacionar
e
com as velocidades.
Se houver perdas (perda de carga
ou diferença de pressão por atrito), a expressão vira
e então
Mas para muitos exercícios introdutórios a perda é desprezada.
Passo 6
Substituímos a expressão de
obtida por Bernoulli na expressão de
para obter uma fórmula em termos de velocidades e áreas (eliminação de
). Usando a versão sem perdas:
Podemos reorganizar e notar que
aparece em dois termos:
Ou, agrupando os termos de pressão atmosférica:
Se preferir trabalhar em pressões manométricas (tomando
como referência zero), as fórmulas ficam mais simples: usar
no cálculo de
e manter coerência no balanço. Em muitos problemas
(mesma seção) ou
(seção constante), o que simplifica bastante.
Passo 7
Cálculo do número de parafusos. Depois de obter o módulo da força que o flange precisa resistir,
, o número mínimo de parafusos
(cada um fornecendo
) é:
onde
significa arredondamento para cima (pois precisamos de um número inteiro de parafusos e a soma da capacidade deve ser pelo menos a força). Observação: em projetos reais deve-se incluir coeficiente de segurança, mas aqui usamos a informação dada.
Passo 8
Resumo prático do que você tem de medir/ler na figura para aplicar as fórmulas:
- meça/pegue
e (ou os diâmetros e ); - meça/pegue a velocidade
do jato (ou a vazão , então ); - calcule
pela continuidade: ou diretamente ; - calcule
; - aplique as fórmulas do Passo 4 (para
) e do Passo 5 (para ); - por fim calcule
pelo Passo 7.
Exemplo numérico ilustrativo (APENAS para mostrar procedimento — não use como resposta do seu enunciado se os dados forem outros):
Suponha hipoteticamente e
,
,
e
(gauge). Então
. Eliminando
(pois aparece fator comum) obtemos:
Suponha hipoteticamente
Substituindo os números daria um valor numérico para
que depois dividiríamos por
para obter
. Mas reforço: esses números são só um exemplo de procedimento.
Resposta
(a)
com
\n
(b) (sem considerar perdas). \n
(c) \n
Não é possível fornecer valores numéricos porque faltam no enunciado a vazão/velocidades e/ou
(ou áreas
e
) necessárias para avaliar
,
e
.
(b)
(c)
Não é possível fornecer valores numéricos porque faltam no enunciado a vazão/velocidades