Questão 1 (5 pontos) Um destilador é abastecido com 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma mistura contendo partes iguais de metanol e água. Durante o processo saem duas correntes de produtos, uma pelo topo e outra pelo fundo da coluna de destilação, sendo que a vazão mássica da corrente de fundo é de 673 kg/h. Já na análise da corrente de topo foi encontrado 96,0% em massa de metanol. Para realizar o balanço de massa deste processo, você como engenheiro deve:
(a) Desenhar, rotular e realizar análise dos graus de liberdade
(b) Calcular a fração mássica e a fração molar do metanol
(c) Calcular a vazão molar do metanol e a vazão molar da água na corrente de produto de fundo.
Dados:
\mathrm{PM}( metanol )=32,0 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
\mathrm{PM}( água )=18,0 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que nos foi dado. Perguntas do exercício:
(a) Desenhar, rotular e realizar análise dos graus de liberdade.
(b) Calcular a fração mássica e a fração molar do metanol (vou interpretar isso como referentes à corrente de fundo, já que (c) pede vazões molares nessa corrente).
(c) Calcular a vazão molar do metanol e a vazão molar da água na corrente de produto de fundo.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
F = 1000\\ \mathrm{kg/h}
o enunciado diz “partes iguais de metanol e água”, então a composição mássica do alimentador é
w_{\text{MeOH},F} = 0{,}5,\qquad w_{\text{H2O},F} = 0{,}5
vazão mássica da corrente de fundo:
B = 673\\ \mathrm{kg/h}
análise da corrente de topo:
w_{\text{MeOH},D} = 0{,}960\quad\text{(96,0\% em massa)}
mas precisamos lembrar as massas molares dadas:
\mathrm{PM}(\text{MeOH}) = 32{,}0\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}032\\ \mathrm{kg/mol}
\mathrm{PM}(\text{H2O}) = 18{,}0\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}018\\ \mathrm{kg/mol}
Observação: nesta etapa apenas listei o que é pedido e os dados; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicadinho e com definições):
  • Balanço de massa total (estado estacionário, sem acumulação): a soma das vazões mássicas das correntes de saída iguala a vazão de alimentação. Se a alimentação tem vazões de produto D (distilado, topo) e B (fundo), então
F = D + B.
Aqui F,D,B são vazões mássicas em \mathrm{kg/h}.
  • Balanço de componente (para metanol, por exemplo): massa de metanol que entra = massa de metanol que sai pelo topo + massa de metanol que sai pelo fundo. Em forma:
F\cdot w_{\text{MeOH},F} = D\cdot w_{\text{MeOH},D} + B\cdot w_{\text{MeOH},B},
onde w são frações mássicas (parte em massa entre 0 e 1).
  • Conversão massa → mol: para uma substância qualquer, vazão molar n (em \mathrm{mol/h}) é dada por
n = \dfrac{\dot m}{M},
onde \dot m é vazão mássica (em \mathrm{kg/h}) e M é massa molar em \mathrm{kg/mol}.
  • Fração molar de metanol na corrente de fundo:
x_{\text{MeOH},B} = \dfrac{n_{\text{MeOH},B}}{n_{\text{MeOH},B}+n_{\text{H2O},B}}.
Explicando as variáveis: n_{\text{MeOH},B} é a vazão molar do metanol na corrente de fundo; n_{\text{H2O},B} é a vazão molar da água na corrente de fundo.

Passo 3

Análise de graus de liberdade (explicando o raciocínio):
  • Variáveis relevantes que descrevem o sistema (considerando correntes e composições): F,D,B (vazões mássicas) e w_{\text{MeOH},F}, w_{\text{MeOH},D}, w_{\text{MeOH},B} (frações mássicas de metanol nas três correntes). Em princípio há 6 incógnitas.
  • Equações independentes disponíveis:
    1. balanço de massa total: F = D + B;
    2. balanço de massa do metanol: F w_{\text{MeOH},F} = D w_{\text{MeOH},D} + B w_{\text{MeOH},B}.
      Além disso, normalmente as frações de cada corrente satisfazem w_{\text{MeOH}} + w_{\text{H2O}} = 1, mas isso não adiciona novas informações para os dois componentes (apenas reduz incógnitas se contarmos fração da água).
  • Agora aplicar os dados conhecidos: F é dado, w_{\text{MeOH},F} é conhecido (0,5), B é dado (673 kg/h) e w_{\text{MeOH},D} é conhecido (0,960). Portanto as incógnitas remanescentes principais são D e w_{\text{MeOH},B}.
  • Temos duas equações (a total e a do metanol) e duas incógnitas → sistema determinado. Portanto os graus de liberdade são zero: DOF = 0. Isso significa que com os dados dados podemos resolver unicamente as incógnitas.

Passo 4

Usar o balanço de massa total para obter a vazão do destilado D:
D = F - B.
Substituindo os valores (todos em \mathrm{kg/h}):
D = 1000 - 673 = 327\\ \mathrm{kg/h}.
Comentário: simples aplicação da fórmula; agora já sabemos a vazão do topo.

Passo 5

Balanço de metanol para obter a massa de metanol que sai pelo fundo (e a fração mássica):
Escrevemos o balanço de metanol:
F\cdot w_{\text{MeOH},F} = D\cdot w_{\text{MeOH},D} + B\cdot w_{\text{MeOH},B}.
Queremos w_{\text{MeOH},B}. Reorganizando:
w_{\text{MeOH},B} = \dfrac{F\cdot w_{\text{MeOH},F} - D\cdot w_{\text{MeOH},D}}{B}.
Agora substituímos números:
F\cdot w_{\text{MeOH},F} = 1000\cdot 0{,}5 = 500\\ \mathrm{kg/h}\\ \text{(massa de MeOH na alimentação)}.çã
D\cdot w_{\text{MeOH},D} = 327\cdot 0{,}96 = 313{,}92\\ \mathrm{kg/h}\\ \text{(massa de MeOH no destilado)}.
Portanto massa de metanol no fundo:
m_{\text{MeOH},B} = 500 - 313{,}92 = 186{,}08\\ \mathrm{kg/h}.
Agora a fração mássica do metanol na corrente de fundo:
w_{\text{MeOH},B} = \dfrac{186{,}08}{673} \approx 0{,}2765.
Como porcentagem em massa: w_{\text{MeOH},B}\approx 27{,}65\%.
Explicação didática: primeiro calculei a massa de MeOH que entra, subtraí a massa que sai no destilado (já conhecida) e o resto é a massa no fundo; dividir pela vazão mássica do fundo dá a fração mássica.

Passo 6

Converter massas em mols (explicando unidades):
  • Para passar de \mathrm{kg/h} para \mathrm{mol/h} usamos n=\dfrac{\dot m}{M} com M em \mathrm{kg/mol}.
    Já temos:
m_{\text{MeOH},B} = 186{,}08\\ \mathrm{kg/h},\qquad M_{\text{MeOH}}=0{,}032\\ \mathrm{kg/mol}.
Logo
n_{\text{MeOH},B} = \dfrac{186{,}08}{0{,}032} = 5815{,}0\\ \mathrm{mol/h}.
Observação: o resultado deu número inteiro na casa decimal por causa dos números escolhidos — é ótimo quando acontece.
  • Para a água na corrente de fundo calculamos a massa de água no fundo:
m_{\text{H2O},B} = B - m_{\text{MeOH},B} = 673 - 186{,}08 = 486{,}92\\ \mathrm{kg/h}.
Com M_{\text{H2O}}=0{,}018\\ \mathrm{kg/mol},
n_{\text{H2O},B} = \dfrac{486{,}92}{0{,}018} \approx 27051{,}111\\ \mathrm{mol/h}.

Passo 7

Calcular a fração molar do metanol na corrente de fundo (explicando o raciocínio):
A fração molar é a razão entre n de MeOH e o total de mols na corrente:
x_{\text{MeOH},B} = \dfrac{n_{\text{MeOH},B}}{n_{\text{MeOH},B}+n_{\text{H2O},B}}.
Substituindo:
x_{\text{MeOH},B} = \dfrac{5815{,}0}{5815{,}0 + 27051{,}111} \approx \dfrac{5815{,}0}{32866{,}111} \approx 0{,}1770.
Como porcentagem molar: x_{\text{MeOH},B}\approx 17{,}70\%.
Interpretação: embora o metanol represente cerca de 27{,}65\% em massa no fundo, em termos molares ele é cerca de 17{,}7\% porque o metanol tem massa molar maior que a água.

Passo 8

Verificação rápida (checape): posso verificar somas e conservação:
  • Soma de massas: D+B=327+673=1000=F OK.
  • Soma de massas de metanol: D\cdot w_{\text{MeOH},D}+B\cdot w_{\text{MeOH},B} = 313{,}92 + 186{,}08 = 500 = F\cdot w_{\text{MeOH},F} OK.
  • Conversões massa→mol usadas corretamente com M em \mathrm{kg/mol}.

Resposta

(a) Diagrama (texto): alimentação F=1000\\ \mathrm{kg/h} com w_{\text{MeOH},F}=0{,}5 entra na coluna; saem destilado (topo) D=327\\ \mathrm{kg/h} com w_{\text{MeOH},D}=0{,}960 e fundo B=673\\ \mathrm{kg/h} com w_{\text{MeOH},B}=0{,}2765. Análise de graus de liberdade: DOF=0 (sistema completamente determinado com os dados fornecidos).
(b) Fração mássica do metanol na corrente de fundo: w_{\text{MeOH},B}\approx 0{,}2765 (ou 27{,}65\%). Fração molar do metanol na corrente de fundo: x_{\text{MeOH},B}\approx 0{,}1770 (ou 17{,}70\%).
(c) Vazões molares na corrente de fundo: n_{\text{MeOH},B}=5815{,}0\\ \mathrm{mol/h} e n_{\text{H2O},B}\approx 27051{,}1\\ \mathrm{mol/h}.

Exercícios relacionados