Em uma hidrelétrica 100 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água escoam de uma elevação de 120 m até uma turbina, onde energia elétrica é gerada. A perda de carga irreversível total na tubulação é de 35 m . Sabendo que a eficiência da turbina é de 80 \%, determine a potência elétrica gerada.
\begin{aligned} & 120-35=85 \mathrm{~m} \\\ & 100 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} \cdot 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \cdot 85 \mathrm{~m}=8,510^{6} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\\ & 8,5 \cdot 10^{6} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{s} \cdot 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}=83,3 \cdot 10^{6} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}^{3}[\mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{s}][\mathrm{J} / \mathrm{s}][\mathrm{W}] \end{aligned}
Considerando 80% de eficácia: 66,7 MW

Passo 1

O enunciado pede a potência elétrica gerada por uma turbina em uma hidrelétrica, dada a vazão, a diferença de cota inicial, a perda de carga e a eficiência da turbina. Dados fornecidos:
\;Q=100\\ \mathrm{m^{3}/s} (vazão volumétrica),
\;elevação inicial =120\\ \mathrm{m},
\;perda de carga irreversível =35\\ \mathrm{m},
\;eficiência da turbina \eta=80\%.

Passo 2

Entendendo a física por trás (aula rápida e calma): a água que desce de uma cota mais alta até a turbina perde energia potencial gravitacional. A “carga” ou “head” disponível para gerar potência é a diferença de altura efetiva entre a entrada e a turbina, descontadas as perdas. A potência hidráulica (energia por unidade de tempo disponível na água) é dada por:
P_{\text{hid}}=\rho\,g\,Q\,H,
onde
\rho é a densidade da água (em \mathrm{kg/m^{3}}),
\;g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
\;Q é a vazão volumétrica (em \mathrm{m^{3}/s}),
\;H é a carga (head) efetiva (em \mathrm{m}).
Explicação: a energia potencial por unidade de massa é gH (em \mathrm{J/kg}); a massa que passa por segundo é \dot{m}=\rho Q (em \mathrm{kg/s}); multiplicando dá potência em \mathrm{W} porque \mathrm{kg/s}\cdot \mathrm{m/s^{2}}\cdot \mathrm{m}=\mathrm{kg\;m^{2}/s^{3}}=\mathrm{W}.

Passo 3

Calcular a carga efetiva que chega à turbina subtraindo as perdas:
H = 120\\ \mathrm{m} - 35\\ \mathrm{m} = 85\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Escolher valores numéricos para os parâmetros físicos padrão: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (água) e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Calcular a vazão mássica:
\dot{m}=\rho Q=1000\cdot 100 = 100000\\ \mathrm{kg/s}.
Agora a potência hidráulica:
P_{\text{hid}}=\rho g Q H = 1000\cdot 9{,}8\cdot 100\cdot 85.
Fazendo as contas passo a passo: 9{,}8\cdot 85=833{,}0. Então
P_{\text{hid}}=1000\cdot 100\cdot 833{,}0 = 83\,300\,000\\ \mathrm{W}.
Verificação de unidades: \mathrm{kg/m^{3}}\cdot \mathrm{m/s^{2}}\cdot \mathrm{m^{3}/s}\cdot \mathrm{m} = \mathrm{kg\;m^{2}/s^{3}} = \mathrm{W}. Em megawatts:
P_{\text{hid}}=83{,}3\\ \mathrm{MW}.

Passo 5

Aplicar a eficiência da turbina: a turbina transforma só uma fração da potência hidráulica em potência elétrica. A potência elétrica é
P_{\text{el}}=\eta\,P_{\text{hid}}=0{,}80\cdot 83{,}3\\ \mathrm{MW}.
Calculando:
P_{\text{el}}=66{,}64\\ \mathrm{MW}.
Arredondando de forma prática (duas casas significativas coerentes com os dados):
P_{\text{el}}\approx 66{,}7\\ \mathrm{MW}.

Resposta

66{,}7\\ \mathrm{MW}

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