Água líquida a 50^{\circ} \mathrm{C} entra em uma torre de resfriamento operando em regime permanente. A água resfriada sai da torre a uma vazão mássica de 1,33 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Nenhuma água de reposição é fornecida. Um ventilador injeta ar atmosférico a 17^{\circ} \mathrm{C} e 60 \% de umidade relativa com uma vazão volumétrica de 1,83 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s}. Ar saturado sai da torre a 30^{\circ} \mathrm{C}. A potência de entrada do ventilador é de 8 kW . Considerando operação em regime permanente e desprezando a perda de calor na torre e os efeitos das energias cinéticas e potencial, calcule a alimentação da água que entra em kg/s e a temperatura de saída da água resfriada { }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que conhecemos e o que é pedido):
  • Água líquida entra na torre a 50^\circ\mathrm{C}.
  • A água resfriada sai da torre com vazão mássica \dot{m}_{\text{wc}} = 1{,}33\\ \mathrm{kg/s}. (este é o fluxo de água líquida de saída)
  • Não há reposição de água (ou seja, água que evapora sai do sistema junto com o ar).
  • Ar atmosférico entra a 17^\circ\mathrm{C}, umidade relativa 60\% e vazão volumétrica \dot{V} = 1{,}83\\ \mathrm{m^3/s}.
  • O ar que sai da torre está saturado a 30^\circ\mathrm{C} (ou seja, umidade relativa 100\% a 30^\circ\mathrm{C}).
  • Potência do ventilador W = 8\\ \mathrm{kW}.
  • Despreza-se perda de calor na torre e efeitos de energia cinética/potencial.
  • Pressão atmosférica: vou assumir p = 101{,}325\\ \mathrm{kPa} (valor padrão), pois o enunciado diz “ar atmosférico” e não dá outra pressão.
O que é pedido:
  1. A alimentação (vazão mássica) da água que entra na torre, em \mathrm{kg/s}.
  2. A temperatura de saída da água resfriada, em ^\circ\mathrm{C}.
Dados intermediários que precisaremos calcular (lista mental):
  • Razão de umidade (humidity ratio) do ar na entrada \omega_{\text{in}} e na saída \omega_{\text{out}}.
  • Vazão mássica de ar seco \dot{m}_a.
  • Massa de água evaporada \dot{m}_e.
  • Balanço de massa da água: \dot{m}_{\text{in}} = \dot{m}_{\text{wc}} + \dot{m}_e.
  • Balanço de energia global incluindo potência do ventilador para obter a temperatura final da água.

Passo 2

Vamos calcular a pressão de saturação do vapor d’água (usei a fórmula de Tetens — é uma aproximação bem aceita para engenharia) e a razão de umidade. A fórmula de Tetens (para T em ^\circ\mathrm{C} e p_{ws} em kPa) é:
p_{ws}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right).
Cálculo em T_{\text{in}}=17^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(17)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\times17}{17+237{,}3}\right)\approx 1{,}945\\ \mathrm{kPa}.
Como a umidade relativa é 60\%, a pressão parcial de vapor é
p_{v1}=0{,}60\;p_{ws}(17)\approx 0{,}60\times1{,}945=1{,}167\\ \mathrm{kPa}.
A razão de umidade (massa de vapor por massa de ar seco) é dada por
\omega=\frac{0{,}622\,p_v}{p-p_v},
onde p é a pressão total (aqui 101{,}325\\ \mathrm{kPa}). Assim
\omega_{\text{in}}=\frac{0{,}622\times1{,}167}{101{,}325-1{,}167}\approx 0{,}00724\\ \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\\ seco}}.
Agora para a saída saturada a T_{\text{out\,ar}}=30^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(30)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\times30}{30+237{,}3}\right)\approx 4{,}243\\ \mathrm{kPa}.
Como o ar sai saturado, p_{v2}=p_{ws}(30)=4{,}243\\ \mathrm{kPa}, e
\omega_{\text{out}}=\frac{0{,}622\times4{,}243}{101{,}325-4{,}243}\approx 0{,}02722\\ \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\\ seco}}.
Diferença de razão de umidade (quantidade de água evaporada por kg de ar seco):
\Delta\omega=\omega_{\text{out}}-\omega_{\text{in}}\approx 0{,}02722-0{,}00724=0{,}01998\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 3

Precisamos da vazão mássica de ar seco \dot{m}_a. A partir da vazão volumétrica do ar (na condição de entrada) e do volume específico do ar úmido, calculamos \dot{m}_a.
A expressão prática usada para o volume específico do ar úmido (m³ por kg de ar seco) é
v = 0{,}287042\;\frac{T}{p}\left(1+1{,}6078\,\omega\right),
onde T é a temperatura absoluta em K, p a pressão em kPa, e \omega a razão de umidade. (Aqui 0{,}287042\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)} é a constante dos gases para o ar seco, e o fator 1{,}6078 vem da relação das constantes dos gases do vapor e do ar).
Convertemos 17^\circ\mathrm{C} para Kelvin: T_1=17+273{,}15=290{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculei o volume específico v_1 na entrada:
v_1 = 0{,}287042\frac{290{,}15}{101{,}325}\left(1+1{,}6078\times0{,}00724\right)\approx 0{,}8352\\ \mathrm{m^3/kg\\ ar\\ seco}.
Então a vazão mássica de ar seco é
\dot{m}_a=\frac{\dot{V}}{v_1}=\frac{1{,}83}{0{,}8352}\approx 2{,}19\\ \mathrm{kg/s\\ (ar\\ seco)}.

Passo 4

A massa de água evaporada \dot{m}_e é simplesmente:
\dot{m}_e=\dot{m}_a\;(\omega_{\text{out}}-\omega_{\text{in}})=2{,}19\times0{,}01998\approx 0{,}0438\\ \mathrm{kg/s}.
Portanto a quantidade de água que evapora e é levada pelo ar é cerca de 0{,}0438\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Balanço de massa para a água (regime permanente, sem reposição):
\dot{m}_{\text{in}}=\dot{m}_{\text{wc}}+\dot{m}_e.
Substituindo:
\dot{m}_{\text{in}}=1{,}33+0{,}0438=1{,}3738\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando razoavelmente, \dot{m}_{\text{in}}\approx 1{,}374\\ \mathrm{kg/s}.
(Esse é o primeiro resultado pedido: alimentação de água que entra.)

Passo 6

Agora o balanço de energia global. Para o volume de controle que contém a torre, em regime permanente e desprezando perdas e efeitos cinético/potencial, temos:
\dot{m}_{\text{w,in}} h_{w,\text{in}} + \dot{m}_a h_{a,\text{in}} + W = \dot{m}_{\text{wc}} h_{w,\text{c}} + \dot{m}_a h_{a,\text{out}},
onde:
  • h_{w,\text{in}} é a entalpia específica da água líquida de entrada (kJ/kg),
  • h_{w,\text{c}} é a entalpia específica da água líquida de saída (aquela a uma temperatura desconhecida T_c),
  • h_{a,\text{in}} e h_{a,\text{out}} são as entalpias específicas do ar úmido por kg de ar seco (kJ/kg ar seco),
  • W é a potência do ventilador (kW) adicionada ao sistema (entrada de energia).
Usamos a fórmula prática para entalpia do ar úmido (por kg de ar seco):
h_a = 1{,}006\,T + \omega\left(2501 + 1{,}86\,T\right)\quad\text{(kJ/kg ar seco)},
onde T é a temperatura do ar em ^\circ\mathrm{C}. (Aqui 1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é c_{p,da} e 1{,}86 é c_{p,v}.)
Calculemos h_{a,\text{in}} com T_{\text{in}}=17^\circ\mathrm{C} e \omega_{\text{in}}=0{,}00724:
h_{a,\text{in}} = 1{,}006\times17 + 0{,}00724\big(2501 + 1{,}86\times17\big) \approx 17{,}10 + 18{,}33 \approx 35{,}43\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.
Calculemos h_{a,\text{out}} com T_{\text{out}}=30^\circ\mathrm{C} e \omega_{\text{out}}=0{,}02722:
h_{a,\text{out}} = 1{,}006\times30 + 0{,}02722\big(2501 + 1{,}86\times30\big) \approx 30{,}18 + 69{,}64 \approx 99{,}82\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.
A diferença de entalpia do ar por kg de ar seco é:
\Delta h_a = h_{a,\text{out}}-h_{a,\text{in}} \approx 99{,}82 - 35{,}43 = 64{,}39\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.
Energia total absorvida pelo ar:
\dot{m}_a\Delta h_a \approx 2{,}19\times64{,}39 \approx 141{,}05\\ \mathrm{kW}.
O ventilador fornece W=8\\ \mathrm{kW} ao ar, isto é, parte da elevação da entalpia do ar já vem do ventilador — portanto a parte fornecida pela água é
\dot{m}_a\Delta h_a - W \approx 141{,}05 - 8 = 133{,}05\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Agora escrevemos o termo da esquerda do balanço relacionado à água em forma prática. Para água líquida usamos h_w \approx c_p\,T com c_p=4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (entalpia relativa a 0^\circ\mathrm{C}). Assim:
\dot{m}_{\text{in}}\,c_p\,T_{\text{in}} - \dot{m}_{\text{wc}}\,c_p\,T_c = \dot{m}_a\Delta h_a - W.
Substituindo valores conhecidos ( T_{\text{in}}=50^\circ\mathrm{C}, \dot{m}_{\text{in}}=1{,}3738\\ \mathrm{kg/s}, \dot{m}_{\text{wc}}=1{,}33\\ \mathrm{kg/s}):
1{,}3738\times4{,}186\times50 - 1{,}33\times4{,}186\times T_c = 133{,}05\\ \mathrm{kW}.
Calculemos o primeiro coeficiente e reorganizemos para achar T_c.

Passo 8

Calculando numericamente:
1{,}3738\times4{,}186\times50 \approx 287{,}47\\ \mathrm{kW},
1{,}33\times4{,}186 \approx 5{,}567\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)} = 5{,}567\\ \mathrm{kW/^\circ C}.
A equação fica
287{,}47 - 5{,}567\,T_c = 133{,}05.
Isolando T_c:
5{,}567\,T_c = 287{,}47 - 133{,}05 = 154{,}42,
T_c = \frac{154{,}42}{5{,}567}\approx 27{,}74^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura de saída da água resfriada é aproximadamente 27{,}7^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\dot{m}_{\text{in}} \approx 1{,}374\\ \mathrm{kg/s}\n
T_{\text{saída}} \approx 27{,}74^\circ\mathrm{C}í

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