Mostrar que:
se
for um tensor simétrico
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar a igualdade
sob a hipótese de que o tensor
é simétrico, isto é
.
Informações dadas e notações que vamos usar (importante deixar claro antes de começar a conta):
-
é um campo vetorial com componentes ). -
é um tensor de segunda ordem com componentes ) e dado que é simétrico temos ). - Usaremos a convenção de somação de Einstein: índices repetidos são somados automaticamente.
- Definições que vamos usar (explicito cada uma em componentes):
- Produto tensor-vetor: o vetor
tem componentes ). - Divergência de um vetor: ) (ou seja somamos sobre o índice da componente do vetor).
- Divergência de um tensor (resultando em vetor): ).
- Gradiente do vetor
: a matriz ) tem componentes ). Atenção: esta é a convenção usual em mecânica dos contínuos — o primeiro índice identifica a componente do vetor, o segundo a derivada espacial. - Dupla contração (dois tensores): ). Em particular ).
- Produto tensor-vetor: o vetor
Passo 2
Vamos escrever a quantidade do lado esquerdo em componentes e aplicar a regra do produto (produto entre funções depende da derivada do primeiro e do segundo). Começo escrevendo
em índices:
Usando a definição do produto tensor-vetor
, obtemos
Aqui
significa derivada parcial em relação à coordenada
:
. Até aqui é só reescrever o que está no enunciado em componentes.
Passo 3
Aplicamos a regra do produto para derivada parcial (produto de duas quantidades):
. Escrevendo isso:
Expliquei cada termo:
-
é o produto da derivada do tensor pela componente do vetor. -
é o tensor multiplicando a derivada da componente do vetor.
Passo 4
Interpreto os dois termos para relacioná‑los com as quantidades do lado direito da identidade desejada.
- O primeiro termo
é exatamente o produto escalar entre e a divergência do tensor , porque por definição . Assim
- O segundo termo é
. Compare com a definição de dupla contração . Note que há uma diferença de índices: no nosso termo a derivada é enquanto em aparece . Ou seja, atualmente temos e queremos obter .
Passo 5
Aqui entra a hipótese de simetria de
. Como
), podemos trocar os índices do tensor sem alterar o valor. Faço isso para reescrever
:
Primeiro troco os nomes dos índices (são índices “dummies”, isto é índices somados — posso renomeá‑los sem mudar nada): trocando
em
tenho
Agora uso a simetria
para voltar a escrever com
:
Mas
é exatamente a definição de
. Portanto
Observação pedagógica: a troca de índices é um truque comum em notação indicial. Como os índices repetidos são somados, nomes como
são apenas rótulos; podemos renomeá‑los e depois, se necessário, usar a simetria do tensor para rearranjar fatores.
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores, da expressão do Passo 3 temos
Pelo Passo 4 o primeiro termo é
. Pelo Passo 5 o segundo termo, usando a simetria de
, é
. Portanto
que é exatamente a identidade que queríamos provar.