Mostrar que:
\nabla \cdot(\mathbf{T} \cdot \mathbf{v})=\mathbf{T}: \nabla \mathbf{v}+\mathbf{v} \cdot(\nabla \cdot \mathbf{T}) se \mathbf{T} for um tensor simétrico \left(\mathbf{T}_{i j}=\mathbf{T}_{j i}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar a igualdade
\nabla\cdot(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})=\mathbf{T}:\nabla\mathbf{v}+\mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\mathbf{T})
sob a hipótese de que o tensor \mathbf{T} é simétrico, isto é \mathbf{T}_{ij}=\mathbf{T}_{ji}.
Informações dadas e notações que vamos usar (importante deixar claro antes de começar a conta):
  • \mathbf{v} é um campo vetorial com componentes \(v_i).
  • \mathbf{T} é um tensor de segunda ordem com componentes \(T_{ij}) e dado que é simétrico temos \(T_{ij}=T_{ji}).
  • Usaremos a convenção de somação de Einstein: índices repetidos são somados automaticamente.
  • Definições que vamos usar (explicito cada uma em componentes):
    • Produto tensor-vetor: o vetor \mathbf{T}\cdot\mathbf{v} tem componentes \((\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_i = T_{ij} v_j).
    • Divergência de um vetor: \(\nabla\cdot\mathbf{w} = \partial_i w_i) (ou seja somamos sobre o índice da componente do vetor).
    • Divergência de um tensor (resultando em vetor): \((\nabla\cdot\mathbf{T})_j = \partial_i T_{ij}).
    • Gradiente do vetor \mathbf{v}: a matriz \(\nabla\mathbf{v}) tem componentes \((\nabla\mathbf{v})_{ij}=\partial_j v_i). Atenção: esta é a convenção usual em mecânica dos contínuos — o primeiro índice identifica a componente do vetor, o segundo a derivada espacial.
    • Dupla contração (dois tensores): \(\mathbf{A}:\mathbf{B} = A_{ij} B_{ij}). Em particular \(\mathbf{T}:\nabla\mathbf{v} = T_{ij}\partial_j v_i).

Passo 2

Vamos escrever a quantidade do lado esquerdo em componentes e aplicar a regra do produto (produto entre funções depende da derivada do primeiro e do segundo). Começo escrevendo \nabla\cdot(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v}) em índices:
\nabla\cdot(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v}) = \partial_i\big((\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_i\big).
Usando a definição do produto tensor-vetor (\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_i = T_{ij} v_j, obtemos
\nabla\cdot(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v}) = \partial_i\big(T_{ij} v_j\big).
Aqui \partial_i significa derivada parcial em relação à coordenada x_i: \partial_i=\dfrac{\partial}{\partial x_i}. Até aqui é só reescrever o que está no enunciado em componentes.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para derivada parcial (produto de duas quantidades): \partial_i(T_{ij} v_j)= (\partial_i T_{ij}) v_j + T_{ij} (\partial_i v_j). Escrevendo isso:
\partial_i\big(T_{ij} v_j\big) = (\partial_i T_{ij})\, v_j + T_{ij}\, \partial_i v_j.
Expliquei cada termo:
  • (\partial_i T_{ij})\, v_j é o produto da derivada do tensor pela componente do vetor.
  • T_{ij}\, \partial_i v_j é o tensor multiplicando a derivada da componente do vetor.

Passo 4

Interpreto os dois termos para relacioná‑los com as quantidades do lado direito da identidade desejada.
  1. O primeiro termo (\partial_i T_{ij})\, v_j é exatamente o produto escalar entre \mathbf{v} e a divergência do tensor \mathbf{T}, porque por definição (\nabla\cdot\mathbf{T})_j=\partial_i T_{ij}. Assim
(\partial_i T_{ij})\, v_j = v_j (\nabla\cdot\mathbf{T})_j = \mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\mathbf{T}).
  1. O segundo termo é T_{ij}\, \partial_i v_j. Compare com a definição de dupla contração \mathbf{T}:\nabla\mathbf{v}=T_{ij}\partial_j v_i. Note que há uma diferença de índices: no nosso termo a derivada é \partial_i v_j enquanto em \mathbf{T}:\nabla\mathbf{v} aparece \partial_j v_i. Ou seja, atualmente temos T_{ij}\partial_i v_j e queremos obter T_{ij}\partial_j v_i.

Passo 5

Aqui entra a hipótese de simetria de \mathbf{T}. Como \(T_{ij}=T_{ji}), podemos trocar os índices do tensor sem alterar o valor. Faço isso para reescrever T_{ij}\partial_i v_j:
Primeiro troco os nomes dos índices (são índices “dummies”, isto é índices somados — posso renomeá‑los sem mudar nada): trocando i\leftrightarrow j em T_{ij}\partial_i v_j tenho
T_{ij}\partial_i v_j = T_{ji}\partial_j v_i.
Agora uso a simetria T_{ji}=T_{ij} para voltar a escrever com T_{ij}:
T_{ji}\partial_j v_i = T_{ij}\partial_j v_i.
Mas T_{ij}\partial_j v_i é exatamente a definição de \mathbf{T}:\nabla\mathbf{v}. Portanto
T_{ij}\partial_i v_j = \mathbf{T}:\nabla\mathbf{v}.
Observação pedagógica: a troca de índices é um truque comum em notação indicial. Como os índices repetidos são somados, nomes como i,j são apenas rótulos; podemos renomeá‑los e depois, se necessário, usar a simetria do tensor para rearranjar fatores.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores, da expressão do Passo 3 temos
\nabla\cdot(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v}) = (\partial_i T_{ij}) v_j + T_{ij}\partial_i v_j.
Pelo Passo 4 o primeiro termo é \mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\mathbf{T}). Pelo Passo 5 o segundo termo, usando a simetria de \mathbf{T}, é \mathbf{T}:\nabla\mathbf{v}. Portanto
\nabla\cdot(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v}) = \mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\mathbf{T}) + \mathbf{T}:\nabla\mathbf{v},
que é exatamente a identidade que queríamos provar.

Resposta

\nabla\cdot(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})=\mathbf{T}:\nabla\mathbf{v}+\mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\mathbf{T})

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