Água a 10^{\circ} \mathrm{C} deve ser aquecida em um trocador de calor casco e tubo. Do lado externo dos tubos vapor de água saturado a 1 atm é condensado, deixando o trocador de calor como líquido saturado. O casco perfaz 2 passes enquanto os tubos de latão ( \mathrm{k}=110 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) é composto por 4 passes. O trocador tem 100 tubos, cada um com 1,5 m de comprimento por passe. Os tubos têm diâmetro interno e externo de 13,0 e 15,0 mm , respectivamente. A água entra no tubo com uma velocidade média de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O coeficiente convectivo sobre a superfície externa dos tubos é 10.000 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 . \mathrm{K}. Determine a temperatura de saída da água no trocador de calor.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de saída da água que entra a 10^\circ\mathrm{C} em um trocador casco-e-tubos cujo lado do casco é vapor saturado a 1 atm (logo, temperatura de saturação do vapor T_s=100^\circ\mathrm{C}). Dados relevantes fornecidos:
  • Temperatura do fluido quente (vapor condensando): T_s=100^\circ\mathrm{C} (peguei isto da condição de saturação a 1 atm).
  • Água entra à T_{in}=10^\circ\mathrm{C}.
  • Tubos de latão com k=110\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Número de tubos: 100.
  • Cada tubo tem comprimento por passe 1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Tubos possuem 4 passes (ou seja, cada tubo tem comprimento total L_{\text{tot}}=4\times1{,}5=6{,}0\\ \mathrm{m}).
  • Diâmetro interno dos tubos: d_i=13{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}013\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro externo dos tubos: d_o=15{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média da água no interior dos tubos: v=1{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Coeficiente convectivo externo (casco) sobre a superfície externa dos tubos: h_o=10000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O que se pede explicitamente: determinar a temperatura de saída da água T_{out}.

Passo 2

Estratégia de resolução (passo a passo do que vamos fazer, sem calcular ainda):
  1. Calcular a vazão mássica total de água \dot{m} a partir da área de seção interna dos tubos, número de tubos e velocidade média.
  2. Estimar as propriedades termofísicas da água necessárias (densidade \rho, calor específico c_p, condutividade k_{\text{água}}á, e Prandtl \Pr) em um ponto representativo e usar a correlação de Dittus–Boelter para obter o coeficiente convectivo interno h_i.
  3. Calcular as resistências térmicas por tubo: convecção externa R_{o}, condução na parede R_{\text{wall}} e convecção interna R_{i}; combinar para obter UA por tubo e total para os 100 tubos.
  4. Usar a solução analítica para um trocador com uma face a temperatura fixa ( T_s constante) para obter T_{out}:
T_{out}=T_s - (T_s-T_{in})\exp\!\Big(-\dfrac{UA_{\text{total}}}{\dot{m}c_p}\Big).
Vou explicar cada fórmula quando aplicá‑la e justificar aproximações de propriedades.

Passo 3

Cálculo da vazão mássica \dot{m}.
Área de seção interna de um tubo:
A_i=\frac{\pi d_i^2}{4}=\frac{\pi(0{,}013)^2}{4}=0{,}0001327\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica por tubo (velocidade v=1\\ \mathrm{m/s}):
\dot{V}_{\text{por tubo}}=A_i v=0{,}0001327\\ \mathrm{m^3/s}.
Vazão volumétrica total (100 tubos em paralelo, cada um com mesma velocidade):
\dot{V}_{\text{total}}=100\times 0{,}0001327=0{,}01327\\ \mathrm{m^3/s}.
Adoto propriedades da água típicas (aproximação razoável para problemas de prova):
\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Assim a vazão mássica total:
\dot{m}=\rho\dot{V}_{\text{total}}=1000\times0{,}01327=13{,}27\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Cálculo do coeficiente convectivo interno h_i usando correlação de Dittus–Boelter.
Primeiro, avalio o número de Reynolds na seção interna. Preciso de uma estimativa da viscosidade cinemática/viscosidade dinâmica; como não foram fornecidas, uso \mu\approx 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (valor aproximado da água em torno de 20\text{–}40^\circ\mathrm{C}), e \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}. Então:
\mathrm{Re}=\frac{\rho v d_i}{\mu}=\frac{1000\times1{,}0\times0{,}013}{1{,}0\times10^{-3}}=13000.
Como \mathrm{Re}\approx1{,}3\times10^4>4000, o escoamento é turbulento e podemos usar Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\Pr^{0{,}4}.
Para a Prandtl tomo \Pr\approx4{,}0 (valor representativo para água na faixa média de temperatura que teremos; justificarei depois que isso é consistente com o resultado). Calculo:
\mathrm{Re}^{0{,}8}=13000^{0{,}8}\approx1{,}957\times10^{3},
\Pr^{0{,}4}=4^{0{,}4}\approx1{,}741.
Portanto
\mathrm{Nu}\approx0{,}023\times1{,}957\times10^{3}\times1{,}741\approx78{,}3.
Usando condutividade térmica da água k_{\text{água}}\approx0{,}60\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}á,
h_i=\frac{\mathrm{Nu}\,k_{\text{água}}}{d_i}=\frac{78{,}3\times0{,}60}{0{,}013}\approx3610\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.á
Comentário didático rápido: escolhi \Pr\approx4 porque o filme térmico estará em temperaturas intermediárias entre 10^\circ\mathrm{C} e o valor final que vamos obter; após calcular T_{out} podemos verificar que essa escolha é razoável (vou mostrar que é consistente).

Passo 5

Cálculo das resistências térmicas por tubo e do UA total.
Geometrias (raios):
r_i=\frac{d_i}{2}=0{,}0065\\ \mathrm{m},\qquad r_o=\frac{d_o}{2}=0{,}0075\\ \mathrm{m}.
Comprimento total por tubo: L_{\text{tot}}=6{,}0\\ \mathrm{m}.
Áreas por tubo:
A_o=2\pi r_o L_{\text{tot}}=2\pi(0{,}0075)(6{,}0)=0{,}28274\\ \mathrm{m^2},
A_i=2\pi r_i L_{\text{tot}}=2\pi(0{,}0065)(6{,}0)=0{,}24435\\ \mathrm{m^2}.
Resistências por tubo:
  • Convecção externa:
R_{o}=\frac{1}{h_o A_o}=\frac{1}{10000\times0{,}28274}=0{,}0003537\\ \mathrm{K/W}.
  • Condução na parede cilíndrica:
R_{\text{wall}}=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k L_{\text{tot}}} =\frac{\ln(0{,}0075/0{,}0065)}{2\pi\times110\times6{,}0} \approx0{,}0000345\\ \mathrm{K/W}.
  • Convecção interna:
R_{i}=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{3610\times0{,}24435}=0{,}0011325\\ \mathrm{K/W}.
Soma das resistências por tubo:
R_{\text{tot,por tubo}}=R_{o}+R_{\text{wall}}+R_{i}=0{,}0003537+0{,}0000345+0{,}0011325=0{,}0015207\\ \mathrm{K/W}.
Portanto a condutância por tubo:
(UA)_{\text{por tubo}}=\frac{1}{R_{\text{tot,por tubo}}}=657{,}6\\ \mathrm{W/K}.
Como há 100 tubos em paralelo, o UA total do trocador é:
UA_{\text{total}}=100\times657{,}6=65760\\ \mathrm{W/K}.

Passo 6

Derivação da fórmula para T_{out} quando um lado está a temperatura constante T_s.
Considere um elemento diferencial da área dA. O balanço de energia para o fluido interno (assumindo fluxo em regime permanente e sem acumulação) dá:
\dot{m}c_p\,dT = U\,dA\,(T_s-T),
onde T é a temperatura local do fluido interno. Reescrevendo:
\frac{dT}{T_s-T} = \frac{U\,dA}{\dot{m}c_p}.
Integrando de A=0 (entrada, T=T_{in}) até A=A_{\text{tot}} (saída, T=T_{out}):
\ln\frac{T_s-T_{out}}{T_s-T_{in}}=\frac{UA_{\text{total}}}{\dot{m}c_p}.
Isolando T_{out}:
T_{out}=T_s - (T_s-T_{in})\exp\!\Big(-\dfrac{UA_{\text{total}}}{\dot{m}c_p}\Big).
Esta é a fórmula que vou usar (é a solução padrão para um trocador com uma das temperaturas praticamente constante, como no caso de condensação).

Passo 7

Aplicar a fórmula com os valores calculados.
Capacidade térmica da água:
C=\dot{m}c_p=13{,}27\times4180\approx55{,}481\\ \mathrm{W/K}.
Razão UA/C:
\frac{UA_{\text{total}}}{\dot{m}c_p}=\frac{65760}{55481}\approx1{,}1857.
Exponencial:
\exp\!\Big(-\dfrac{UA_{\text{total}}}{\dot{m}c_p}\Big)=\exp(-1{,}1857)\approx0{,}305.
Finalmente:
T_{out}=100^\circ\mathrm{C} - (100^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C})\times0{,}305 =100 - 90\times0{,}305=100 - 27{,}45=72{,}55^\circ\mathrm{C}.
Verificação rápida da consistência das propriedades usadas: com T_{out}\approx72{,}6^\circ\mathrm{C}, a temperatura média da água durante o aquecimento é cerca de (10+72{,}6)/2\approx41{,}3^\circ\mathrm{C}, para a qual \Pr da água é aproximadamente 4{,}0. Logo a suposição de \Pr\approx4 foi coerente.

Resposta

72{,}6^\circ\mathrm{C}

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