A água (massa específica =1000 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} ) que circula numa residência vem do encanamento no solo. A água entra na casa através de um cano de 8 cm de diâmetro com velocidade \mathrm{v}=0.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e pressão de 4 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. (a) Qual a velocidade da água num cano de 5 cm de diâmetro no 3^{\circ} andar, a 9 m de altura? (b) Qual a pressão da água no 3^{\circ} andar?

Passo 1

O enunciado dá água de densidade \rho=1000\mathrm{\,kg/m^3} que entra no solo por um cano de diâmetro D_1=0{,}08\mathrm{\,m} com velocidade v_1=0{,}6\mathrm{\,m/s} e pressão p_1=4\times10^5\mathrm{\,N/m^2}. No 3º andar, a h=9\mathrm{\,m} de altura, o diâmetro do cano passa a ser D_2=0{,}05\mathrm{\,m}. Preciso achar (a) a velocidade v_2 e (b) a pressão p_2. Vamos usar a equação de continuidade para (a) e o teorema de Bernoulli para (b).

Passo 2

Pela continuidade de fluxo, temos
A_1v_1 \;=\; A_2v_2,
onde A_i=\pi(D_i/2)^2. Logo
v_2 \;=\;\Bigl(\frac{D_1}{D_2}\Bigr)^2\,v_1 \;=\;\Bigl(\frac{0{,}08}{0{,}05}\Bigr)^2\cdot0{,}6 \;=\;2{,}56\cdot0{,}6 \;=\;1{,}54\mathrm{\,m/s}.

Passo 3

Aplicando Bernoulli entre saída do solo z_1=0 e 3º andar z_2=9\mathrm{\,m}:
p_1 + \tfrac12\,\rho\,v_1^2 + \rho g z_1 \;=\; p_2 + \tfrac12\,\rho\,v_2^2 + \rho g z_2.
Isolando p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac12\,\rho\,(v_1^2 - v_2^2) - \rho\,g\,(z_2 - z_1).
Substituindo valores g=9{,}81\mathrm{\,m/s^2}:
p_2 =4\times10^5 + \tfrac12\cdot1000\bigl(0{,}6^2-1{,}54^2\bigr) -1000\cdot9{,}81\cdot9 \approx3{,}11\times10^5\mathrm{\,N/m^2}.

Resposta

(a) v_2 = 1{,}54\mathrm{\,m/s}
(b) p_2 \approx 3{,}11\times10^5\mathrm{\,N/m^2}

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