Suponha que a partícula seja liberada no mesmo ponto x=1 \mathrm{me} com a mesma velocidade, mas o sentido da velocidade seja o sentido positivo de x . Se a partícula puder chegar ao ponto \mathrm{x}= 7 m , qual será sua velocidade nesse ponto? Se não puder, qual será o ponto de retorno?

Passo 1

O diagrama de U(x) é o seguinte: de x=0 até 2 temos U(x)=U_B, de 2 a 4 há uma rampa decrescente de U_B a U_A, de 4 a 5 vale U_A, de 5 a 6 há uma rampa crescente de U_A a U_C e, para x>6, U(x)=U_C. A partícula parte de x=1 com velocidade inicial de módulo v_0 (sentido positivo de x). Queremos ver se ela chega a x=7 e, se sim, qual a velocidade ali; caso contrário, determinar o ponto de retorno x_t.

Passo 2

Como não há forças dissipativas, vale conservação da energia mecânica
E \;=\; U(x)+K(x) \;=\; \text{constante.}
No instante inicial x=1,
E = U(1)+\tfrac12 m v_0^2 = U_B + \tfrac12 m v_0^2.

Passo 3

Para que a partícula atinja x=7 é necessário
E \;\ge\; U(7)=U_C.
Caso E\ge U_C, sua energia cinética em x=7 será
\tfrac12 m\,v^2(7) \;=\; E - U_C \;\Longrightarrow\; v(7)=\pm\sqrt{\frac{2\bigl(E-U_C\bigr)}{m}} =\pm\sqrt{v_0^2- \frac{2\,(U_C-U_B)}{m}}.
Se, em vez disso, E<U_C, ela não alcança x=7 e então reverte a velocidade no ponto onde U(x_t)=E.

Passo 4

Nesse caso x_t ocorre na rampa crescente entre x=5 e 6, em que
U(x)=U_A + (x-5)\,\frac{U_C-U_A}{6-5} =U_A + (x-5)\,(U_C-U_A).
Impondo U(x_t)=E obtemos
U_A + (x_t-5)\,(U_C-U_A)=U_B+\tfrac12 m v_0^2 \quad\Longrightarrow\quad x_t =5+\frac{\,\bigl(U_B+\tfrac12 m v_0^2\bigr)-U_A\,}{\,U_C-U_A\,}.

Resposta

Se
U_B+\tfrac12 m v_0^2\;\ge\;U_C,
então a partícula chega a x=7 com
v(7)=\pm\sqrt{v_0^2-\frac{2\,(U_C-U_B)}{m}}.
Caso contrário, o ponto de retorno x_t é
x_t =5+\frac{\,(U_B+\tfrac12 m v_0^2)-U_A\,}{\,U_C-U_A\,}.

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