Água move-se regularmente por um cano apertado com fluxo ideal. No ponto mais baixo, a pressão é P1=1,75 x 10^4 Pa e o diâmetro do cano é 6,00 cm. Em outro ponto y =0,250 m mais alto, a pressão é P2=1,20 x 10^4 Pa e o diâmetro do cano é 3,00 cm. Encontre a velocidade do fluxo (a) na seção mais baixa e (b) na seção mais alta. (c) Encontre a taxa de fluxo de volume pelo cano.

Passo 1

O enunciado descreve fluxo ideal de água num cano estreito, com dois pontos: o ponto mais baixo (nível y1=0) tem P1=1,75times10^4rm Pa e diâmetro d1=6,00rm cm; o ponto mais alto ( y2=0,250rm m) tem P2=1,20times10^4rm Pa e diâmetro d2=3,00rm cm. Vamos usar continuidade e Equação de Bernoulli para encontrar (a) v1, (b) v2 e (c) a vazão Q. A densidade da água é rho=1000rm kg/m^3 e g=9,8rm m/s^2.

Passo 2

Pela continuidade do fluxo ideal, a vazão volumétrica Q é constante em qualquer seção:
Q = A1,v1 = A2,v2
onde
A1 = pil(d12r)^2, A2 = pil(d22r)^2
Como d1/d2 = 6,00/3,00 = 2, temos
A1A2 = l(d1d2r)^2 = 4 Longrightarrow v2 = 4,v1

Passo 3

Aplicamos Bernoulli entre o ponto 1 (mais baixo) e o ponto 2 (mais alto):
P1 + tfrac12,rho,v1^2 + rho,g,y1 = P2 + tfrac12,rho,v2^2 + rho,g,y2
Como y1=0 e y2=0,250rm m, e substituindo v2=4v1,
P1 - P2 - rho,g,De<a y = tfrac12,rhol(v2^2 - v1^2r) = tfrac12,rhol((4v1)^2 - v1^2r) = tfrac12,rho,(16 - 1),v1^2 = 7,5,rho,v1^2

Passo 4

Isolando v1^2:
v1^2 = P1 - P2 - rho,g,De<a y7,5,rho
Numérico:
P1 - P2 = (1,75 - 1,20)times10^4 = 5500rm Pa, rho,g,De<a y = 1000cdot9,8cdot0,25 = 2450rm Pa,
v1^2 = 5500 - 24507,5times1000 = 30507500 approx0,4067, v1 approx0,637rm m/s

Passo 5

Usando v2=4,v1:
v2 = 4times0,637 approx2,55rm m/s

Passo 6

Finalmente, a vazão volumétrica é
Q = A1,v1 = pil(0,062r)^2 times0,637 = pitimes0,0009 times0,637 approx1,80times10^-3rm m^3/s

Resposta

(a) v1 approx0,637rm m/s
(b) v2 approx2,55rm m/s
(c) Q approx1,80times10^-3rm m^3/s

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