No fluxo ideal, um líquido de densidade 850 kg / m^3 move-se de um tubo horizontal de raio 1,00 cm para um segundo tubo horizontal de raio 0,500 cm na mesma elevação que o primeiro. A pressão difere por De<a P entre o líquido no primeiro tubo e o do segundo, (a) Encontre a taxa de fluxo de volume como uma função de De<a P. Avalie a taxa de fluxo de volume para (b) De<a P=6,00 kPa e (c) $\Delta P=12,0 \mathrm{kPa}.

Passo 1

O enunciado trata de um fluido ideal de densidade rho=850,kg/m^3 que escoa de um tubo horizontal de raio r1=1,00,cm para outro de raio r2=0,500,cm, à mesma elevação. Queremos achar a vazão volumétrica Q em função da diferença de pressão De<a P. Vamos usar a equação da continuidade (conservação de massa) e a equação de Bernoulli para fluido incompressível.

Passo 2

Pela continuidade em regime estacionário, temos
A1 v1 = A2 v2,
onde Ai = pi ri^2. Como
r1 = 0,01;m, r2 = 0,005;m,
segue
v2 = A1A2,v1 = pi(0,01)^2pi(0,005)^2,v1 =4,v1

Passo 3

Aplicando Bernoulli entre as secções 1 e 2 (mesma cota, fluido ideal):
P1 + tfrac12,rho,v1^2 = P2 + tfrac12,rho,v2^2
Definindo De<a P = P1 - P2, obtemos
De<a P = tfrac12,rho,(v2^2 - v1^2) = tfrac12,rho,(16v1^2 - v1^2) = 152,rho,v1^2
Logo,
v1^2 = 2,De<a P15,rho, v1 = raiz2,De<a P15,rho

Passo 4

A vazão volumétrica é
Q = A1,v1 = pi,r1^2,raiz2,De<a P15,rho = pi,(0,01)^2, raiz2,De<a P15times850
Portanto a expressão geral é
Q(De<a P) = pi,(0,01)^2 raiz2,De<a P15,rho l[m^3/sr]

Passo 5

Para De<a P = 6,00,kPa=6000,Pa:
Q = picdot10^-4 raiz2cdot600015cdot850 approx 3,05times10^-4,m^3/s

Passo 6

Para De<a P = 12,0,kPa=12000,Pa:
Q = picdot10^-4 raiz2cdot1200015cdot850 approx 4,31times10^-4,m^3/s

Resposta

(a) Q(De<a P) = pi,(0,01)^2raiz2,De<a P15,rho, com rho=850,kg/m^3.\n(b) Qapprox3,05times10^-4,m^3/s.\n(c) Qapprox4,31times10^-4,m^3/s.

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