A água se move com uma velocidade de 8,0 m / s em um cano com um diâmetro de 6,0 cm. A água desce gradualmente de 6 m enquanto a seção reta diminui para um diâmetro de 3,0 cm. Determine: a pressão monométrica antes da descida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica dos fluidos! A gente tem água fluindo num cano que começa com um diâmetro de 6,0 cm e uma velocidade de 8,0 m/s. A água desce 6 metros e o diâmetro do cano diminui para 3,0 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a pressão monométrica antes dessa descida. Para isso, vamos precisar usar a equação de Bernoulli e a equação da continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as áreas das duas seções do cano. A área da seção transversal de um cano circular é dada pela fórmula:
A = pi d^24
Onde $ d $ é o diâmetro.
Para a primeira seção ($ d_1 = 6,0 , cm $):
d
Para a segunda seção ($ d_2 = 3,0 , cm $):
d1 = 6,0 , cm

Passo 3

Agora, vamos usar a equação da continuidade, que nos diz que, para um fluido incompressível, o produto da área da seção transversal pela velocidade do fluido é constante:
A1 v1 = A2 v2
Sabemos que $ v_1 = 8,0 , m/s $, então podemos encontrar $ v_2 $:
v1 = 8,0 , m/s
Então, a velocidade na segunda seção é de aproximadamente 32,0 m/s.

Passo 4

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes de um fluido em escoamento contínuo:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • $ P $ é a pressão
  • $ \rho $ é a densidade da água ($ \approx 1000 , kg/m^3 $)
  • $ v $ é a velocidade
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $)
  • $ h $ é a altura
Vamos considerar que na segunda seção a pressão é atmosférica ($ P_2 = P_{atm} $) e a altura $ h_2 = h_1 - 6 , m $.

Passo 5

Vamos rearranjar a equação de Bernoulli para resolver $ P_1 $:
P1
Substituindo $ h_2 = h_1 - 6 $:
P1 = P2 + 12 rho v2^2 - 12 rho v1^2 + rho g (h2 - h1)
Agora, vamos calcular cada termo:
  1. Diferença de velocidades:
h2 = h1 - 6
  1. Termo da altura:
P1 = Patm + 12 rho (v2^2 - v1^2) - rho g times 6
Somando tudo:
12 rho (v2^2 - v1^2) = 12 times 1000 times (32^2 - 8^2) = 500 times (1024 - 64) = 500 times 960 = 480000 , Pa

Resposta

A pressão monométrica antes da descida é aproximadamente $ 4,21 \times 10^{5} , Pa $ acima da pressão atmosférica.

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