A água se move com uma velocidade de
em um cano com um diâmetro de
. A água desce gradualmente de 6 m enquanto a seção reta diminui para um diâmetro de
. Determine: a pressão monométrica antes da descida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica dos fluidos! A gente tem água fluindo num cano que começa com um diâmetro de 6,0 cm e uma velocidade de 8,0 m/s. A água desce 6 metros e o diâmetro do cano diminui para 3,0 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a pressão monométrica antes dessa descida. Para isso, vamos precisar usar a equação de Bernoulli e a equação da continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as áreas das duas seções do cano. A área da seção transversal de um cano circular é dada pela fórmula:
Onde $ d $ é o diâmetro.
Para a primeira seção ($ d_1 = 6,0 , cm $):
Para a segunda seção ($ d_2 = 3,0 , cm $):
Passo 3
Agora, vamos usar a equação da continuidade, que nos diz que, para um fluido incompressível, o produto da área da seção transversal pela velocidade do fluido é constante:
Sabemos que $ v_1 = 8,0 , m/s $, então podemos encontrar $ v_2 $:
Então, a velocidade na segunda seção é de aproximadamente 32,0 m/s.
Passo 4
Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes de um fluido em escoamento contínuo:
Onde:
- $ P $ é a pressão
- $ \rho $ é a densidade da água ($ \approx 1000 , kg/m^3 $)
- $ v $ é a velocidade
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $)
- $ h $ é a altura
Vamos considerar que na segunda seção a pressão é atmosférica ($ P_2 = P_{atm} $) e a altura $ h_2 = h_1 - 6 , m $.
Passo 5
Vamos rearranjar a equação de Bernoulli para resolver $ P_1 $:
Substituindo $ h_2 = h_1 - 6 $:
Agora, vamos calcular cada termo:
- Diferença de velocidades:
- Termo da altura:
Somando tudo:
Resposta
A pressão monométrica antes da descida é aproximadamente $ 4,21 \times 10^{5} , Pa $ acima da pressão atmosférica.