A água está se movendo com uma velocidade de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} através de uma tubulação cuja área de seçāo transversal é de 4,0 \mathrm{~m}^{2}. A água desce gradualmente 10,0 m , enquanto a área da tubulação aumenta para 7,0 \mathrm{~m}^{2}.
Qual a velocidade de escoamento no nivel mais baixo?
Considerando que a pressão no nível mais alto é de 150 kPa , determine a pressāo no nivel mais baixo.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento incompressível de água (densidade aproximada \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}) que passa de uma seção de área \,A_1=4{,}0\\ \mathrm{m^2} com velocidade \,v_1=5{,}0\\ \mathrm{m/s} para uma seção de área \,A_2=7{,}0\\ \mathrm{m^2} situada 10{,}0\\ \mathrm{m} abaixo da primeira. No nível superior a pressão é p_1=150\\ \mathrm{kPa}. Vamos usar:
1) a equação da continuidade para achar a velocidade v_2 na seção maior;
2) a equação de Bernoulli para relacionar p_1 e p_2.

Passo 2

Pela continuidade do escoamento \,A_1\,v_1 = A_2\,v_2. Logo,
v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1 = \frac{4{,}0}{7{,}0}\times 5{,}0 = \frac{20}{7}\approx 2{,}86\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Aplicando Bernoulli entre o nível alto ( 1) e o nível baixo ( 2):
p_1 + \tfrac12\,\rho\,v_1^2 + \rho\,g\,z_1 = p_2 + \tfrac12\,\rho\,v_2^2 + \rho\,g\,z_2.
Escolhendo z_1=10\\ \mathrm{m} e z_2=0, obtemos
p_2 = p_1 + \tfrac12\,\rho\,(v_1^2 - v_2^2) + \rho\,g\,(z_1 - z_2).
Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
v_1^2=25, v_2^2=(20/7)^2\approx 400/49\approx8{,}16 e (z_1 - z_2)=10:
p_2 = 150\,000 + \tfrac12\cdot1000\,(25 - 8{,}16) + 1000\cdot9{,}8\cdot10 \approx 150\,000 + 8\,420 + 98\,000 = 256\,420\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

Velocidade no nível mais baixo: v_2 \approx 2{,}86\\ \mathrm{m/s}.
Pressão no nível mais baixo: p_2 \approx 2{,}56\times10^5\\ \mathrm{Pa} ( \approx 256 kPa).

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