Se o pistão menor de uma alavanca hidráulica possui um diàmetro de 3,0 \mathrm{~cm}, e o pistão maior, um diâmetro de 51,0 \mathrm{~cm}, qual deve ser a força atuante no pistão menor para suportar um peso de 18,0 \mathrm{kN} (por exemplo, um veículo), no pistão maior?
Qual é o deslocamento necessário ao pistão menor para uma elevação de 1,65 \mathrm{~m} deste peso?

Passo 1

O enunciado trata de uma alavanca hidráulica em que temos dois pistões de diâmetros diferentes: o menor com d_1=3{,}0\:\mathrm{cm} e o maior com d_2=51{,}0\:\mathrm{cm}. Sobre o pistão maior atua um peso F_2=18{,}0\:\mathrm{kN}. Vamos usar o Princípio de Pascal para relacionar pressões e o fato de que o volume deslocado é conservado para obter deslocamentos.

Passo 2

Calculamos as áreas de cada pistão em função do diâmetro:
A_1 = \pi\bigl(\tfrac{d_1}{2}\bigr)^2, \quad A_2 = \pi\bigl(\tfrac{d_2}{2}\bigr)^2.
Como a constante \pi aparece em ambas, a razão das áreas é
\frac{A_1}{A_2} = \Bigl(\frac{d_1}{d_2}\Bigr)^2 = \Bigl(\frac{3{,}0}{51{,}0}\Bigr)^2 = \frac{1}{17^2} = \frac{1}{289}.

Passo 3

Pelo Princípio de Pascal, a pressão é a mesma nos dois pistões:
\frac{F_1}{A_1} \;=\;\frac{F_2}{A_2} \;\Longrightarrow\; F_1 = F_2\,\frac{A_1}{A_2} = 18{,}0\times10^3\:\mathrm{N}\times\frac{1}{289} \approx 62{,}3\:\mathrm{N}.

Passo 4

Para elevar o peso uma altura x_2=1{,}65\:\mathrm{m}, o volume deslocado pelo pistão maior é
V = A_2\,x_2.
Como o fluido é incompressível, esse mesmo volume sai do pistão menor:
A_1\,x_1 = A_2\,x_2 \;\Longrightarrow\; x_1 = \frac{A_2}{A_1}\,x_2 = \frac{1}{(A_1/A_2)}\,x_2 = 289\,x_2.

Passo 5

Substituindo x_2=1{,}65\:\mathrm{m},
x_1 = 289 \times 1{,}65\:\mathrm{m} \approx 476{,}9\:\mathrm{m}.

Resposta

A força necessária no pistão menor é aproximadamente 62{,}3\:\mathrm{N}.
O pistão menor precisa deslocar cerca de 476{,}9\:\mathrm{m} para elevar o peso em 1{,}65\:\mathrm{m}.

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