2(1,0) - O campo de velocidade é dado por \vec{V}(x, t)=\left\langle a x t^{2}, b\right\rangle(\mathrm{m} / \mathrm{s}), em que a=1 \mathrm{~s}^{-3} e b=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, x está em metros e t em segundos. Em t=1 \mathrm{~s}, encontre a equação da linha de corrente que passa no ponto ( e, 1 ). Obs.: e é o número de Euler.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de velocidade dependente de x e t:
\vec{V}(x,t)=\bigl\langle a\,x\,t^{2},\,b\bigr\rangle
com a=1\\ \mathrm{s}^{-3} e b=1\\ \mathrm{m/s}. Pede a linha de corrente (streamline) no instante t=1\\ \mathrm{s} que passa pelo ponto \bigl(e,1\bigr). Para uma velocidade dependente do tempo, a linha de corrente num instante fixo satisfaz
\frac{dy}{dx}=\frac{V_{y}(x,t)}{V_{x}(x,t)}.

Passo 2

Em t=1\\ \mathrm{s}, temos
V_{x}(x,1)=a\,x\,(1)^{2}=x, \quad V_{y}(x,1)=b=1.
Logo a equação diferencial da streamline é
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int dy=\int \frac{1}{x}\,dx
o que dá
y=\ln|x|+C.

Passo 4

Impondo a condição de que a curva passe por \bigl(e,1\bigr), temos
1=\ln(e)+C\;\Longrightarrow\;1=1+C\;\Longrightarrow\;C=0.
Assim a linha de corrente é
y=\ln x,\quad x>0.

Resposta

y=\ln x

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