Uma bomba de 7 estagios trabalha nas condiçōes de projeto com uma vazão de 702 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} e altura e a nivel do mar ((p_{\text {atm }}=101,32 \mathrm{kPa})). A velocidade na aspiração na tubulação de aspiração ígual a 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sendo a perda de carga na tubulação igual a 1,35 \mathrm{~m}. Determinar a altura de aspiração limite para que não ocorra cavitaçāo. Trata-se de um sistema normal ou com bomba afogada?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura de aspiração limite para que não ocorra cavitação e dizer se o sistema é normal ou com bomba afogada.
Informações dadas:
  • vazão: \,Q=702\\ \mathrm{m^{3}/h}
  • pressão atmosférica (nível do mar): \,p_{\text{atm}}=101{,}32\\ \mathrm{kPa} (dado)
  • velocidade na tubulação de aspiração: \,v=4{,}0\\ \mathrm{m/s} (dado)
  • perda de carga na tubulação de aspiração: \,h_f=1{,}35\\ \mathrm{m} (dado)
  • número de estágios: 7 (informação dada, não é necessária diretamente para o cálculo da altura de aspiração limite)
Nota importante: o enunciado não fornece a pressão de vapor (p_v) da água (depende da temperatura). Eu vou assumir água a 20^\circ\mathrm{C}, para a qual \,p_v\approx2{,}34\\ \mathrm{kPa}. Também usarei \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Se você tiver outra temperatura, o resultado muda um pouco.

Passo 2

Entendendo o que significa “altura de aspiração limite” e a fórmula a usar (aula rápida, sem pânico):
  • Quando se puxa água da superfície livre de um reservatório até a bomba (bomba acima do nível), a pressão no olho da bomba cai. Se essa pressão cair até a pressão de vapor da água, acontece cavitação.
  • A condição-limite (início da cavitação) é quando a pressão no olho da bomba é igual à pressão de vapor. Aplicando Bernoulli entre a superfície livre (pressão \,p_{\text{atm}}) e o olho da bomba e somando as perdas, obtemos a expressão para a máxima diferença de nível permissível.
    Derivação sucinta: a pressão no olho da bomba (em termos de altura de coluna de água) é
\frac{p_{\text{eye}}}{\rho g}=\frac{p_{\text{atm}}}{\rho g}+H_{\text{s}}-h_f-\frac{v^2}{2g},
onde H_{\text{s}}= altura do nível livre acima do eixo da bomba (positive se acima, negative se abaixo). No limite de cavitação \,p_{\text{eye}}=p_v. Reorganizando e passando para a altura de aspiração máxima (levando em conta que quando estamos falando de “altura de aspiração” normalmente queremos a elevação positiva entre a bomba e a superfície livre — para levantar água, esse valor será positivo), obtemos a fórmula prática:
\text{altura de aspiração limite }(L_{\max})=\frac{p_{\text{atm}}-p_v}{\rho g}-h_f-\frac{v^2}{2g}.çã
Explicando cada termo:
  • \dfrac{p_{\text{atm}}-p_v}{\rho g}: cabeça disponível da atmosfera acima da pressão de vapor (em metros de coluna d’água).
  • -h_f: subtrai as perdas por atrito na tubulação de sucção.
  • -\dfrac{v^2}{2g}: subtrai a cabeça cinética (quando a velocidade na tubulação é importante).

Passo 3

Convertemos dados e calculamos termos auxiliares (vou mostrar os passos numéricos bem mastigados):
  1. Converter a vazão para \mathrm{m^3/s} (só para conferir consistência com a velocidade):
Q=\frac{702}{3600}=0{,}195\\ \mathrm{m^3/s}.
  1. Verificar a área da tubulação pela relação A=Q/v (apenas para controle; não é necessário para a fórmula, mas é bom ver que a velocidade dada é consistente):
A=\frac{Q}{v}=\frac{0{,}195}{4{,}0}=0{,}04875\\ \mathrm{m^2}.
Diâmetro aproximado:
d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot0{,}04875}{\pi}}\approx0{,}249\\ \mathrm{m}\quad(\text{≈ }250\\ \mathrm{mm}).
  1. cabeça de velocidade:
\frac{v^2}{2g}=\frac{4{,}0^2}{2\cdot9{,}81}=\frac{16}{19{,}62}\approx0{,}8155\\ \mathrm{m}.
  1. cabeça correspondente à pressão atmosférica:
\frac{p_{\text{atm}}}{\rho g}=\frac{101320}{1000\cdot9{,}81}\approx10{,}33\\ \mathrm{m}.
  1. cabeça correspondente à pressão de vapor (assumida \,p_v=2{,}34\\ \mathrm{kPa}=2340\\ \mathrm{Pa}):
\frac{p_v}{\rho g}=\frac{2340}{1000\cdot9{,}81}\approx0{,}2385\\ \mathrm{m}.
  1. portanto
\frac{p_{\text{atm}}-p_v}{\rho g}=10{,}33-0{,}2385\approx10{,}0915\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula final e calculamos a altura de aspiração limite:
L_{\max}=\frac{p_{\text{atm}}-p_v}{\rho g}-h_f-\frac{v^2}{2g}.
Substituindo os valores:
L_{\max}=10{,}0915 - 1{,}35 - 0{,}8155 \approx 7{,}926\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
L_{\max}\approx 7{,}93\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação (o que isso significa na prova e na prática):
  • Resultado: a bomba pode estar, no máximo, aproximadamente \,7{,}93\\ \mathrm{m} acima do nível livre do reservatório antes de ocorrer cavitação (com as hipóteses feitas, especialmente a temperatura de 20^\circ\mathrm{C}).
  • Se a instalação real tiver a bomba mais alta que \,7{,}93\\ \mathrm{m} acima do reservatório, haverá cavitação; se estiver mais baixa, não haverá cavitação por esta causa (supondo que não haja outros problemas).
  • Quanto à pergunta “Trata-se de um sistema normal ou com bomba afogada?”: considerando que estamos calculando uma altura positiva de aspiração limite (ou seja, estamos assumindo que a bomba está acima do nível e que existe uma altura de sucção a ser vencida), trata-se de um sistema normal (bomba não afogada). Uma bomba afogada (flooded suction) significaria que a bomba está abaixo do nível livre do reservatório — aí não se fala em “altura de aspiração” nesse sentido e o risco de cavitação por sucção é muito menor.
Força aí — deu trabalho, mas ficou prontinho: agora você sabe exatamente quais termos cortar na prova para achar a altura limite!

Resposta

7{,}93\\ \mathrm{m}\nSistema normal (bomba não afogada)

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