Água quente escoa no interior de uma tubulação cilíndrica, de raios interno R_{i}=10 \mathrm{~mm} e externo R_{e}=13 \mathrm{~mm}, constituída de aço com condutividade térmica \mathrm{k}_{\text {Aço }}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}ç. A superfície interna desse duto permanece à temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{i}}=90^{\circ} \mathrm{C}. 0 ar ambiente ao redor da tubulação permanece com temperatura T_{A R}=25^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de transferência de calor por convecção h_{A R}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}.
a) Determine o fluxo de calor, por unidade de comprimento do duto, que é perdido para o ar ambiente.
b) Para diminuir a perda de calor, reveste-se a tubulação com uma camada de amianto de condutividade térmica \mathrm{K}_{\mathrm{AM}}=0,16 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Determine o raio crítico de isolamento e o fluxo de calor, por unidade de comprimento do duto, perdido para o ar ambiente através de uma camada de amianto com raio externo igual ao raio crítico de isolamento.
c) Determine o fluxo de calor, por unidade de comprimento do duto, perdido para o ar ambiente através de um revestimento de amianto com espessura igual a 120 mm .

Passo 1

Temos um duto cilíndrico de aço de raio interno \mathrm{R}_{i}=0,01\\ \mathrm{m} e raio externo \mathrm{R}_{e}=0,013\\ \mathrm{m}, com água interna a T_{i}=90\\ ^{\circ}\mathrm{C}. O ar ambiente está a T_{\infty}=25\\ ^{\circ}\mathrm{C} e o coeficiente convectivo externo é h=5\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\,^{\circ}\mathrm{C}). A condutividade do aço é k_{\mathrm{aço}}=40\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C})ç.
Para cada caso, queremos o fluxo de calor por unidade de comprimento ( q'), usando o modelo de resistências térmicas em série:
– Resistência por condução radial em casca cilíndrica
R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi\,k\,L}
– Resistência por convecção externa
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h\,(2\pi\,r_{\mathrm{ext}}\,L)}
com L=1\\ \mathrm{m}.

Passo 2

(a) Duto sem isolamento. As resistências são
R_{\mathrm{cond,s}}=\frac{\ln\bigl(\tfrac{R_{e}}{R_{i}}\bigr)}{2\pi\,k_{\mathrm{aço}}\,L}, \quad R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h\,(2\pi\,R_{e}\,L)}.ç
O fluxo linear é
q'=\frac{T_{i}-T_{\infty}}{R_{\mathrm{cond,s}}+R_{\mathrm{conv}}}.

Passo 3

Calculando numericamente:
\ln\!\bigl(\tfrac{0,013}{0,01}\bigr)=0,26236, \quad 2\pi\,k_{\mathrm{aço}}=2\pi\cdot40=251,33,ç
R_{\mathrm{cond,s}}=\frac{0,26236}{251,33}=1,04\times10^{-3}\\ \mathrm{K/W}, \quad R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{5\,(2\pi\cdot0,013)}=2,45\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{tot}}=2,451\\ \mathrm{K/W}, \quad \Delta T=90-25=65\\ ^{\circ}\mathrm{C},
q'=\frac{65}{2,451}=26{,}5\\ \mathrm{W/m}.

Passo 4

(b) Com isolamento de amianto ( k_{\mathrm{am}}=0,16\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C})).
– Raio crítico
r_{c}=\frac{k_{\mathrm{am}}}{h}=\frac{0,16}{5}=0,032\\ \mathrm{m}.
Escolhendo raio externo do isolamento igual a r_{c}, as resistências são
R_{\mathrm{cond,s}}=\frac{\ln\bigl(\tfrac{0,013}{0,01}\bigr)}{2\pi\,40}, \; R_{\mathrm{cond,am}}=\frac{\ln\bigl(\tfrac{0,032}{0,013}\bigr)}{2\pi\,0,16}, \; R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{5\,(2\pi\cdot0,032)}.
Então
q'=\frac{65}{R_{\mathrm{cond,s}}+R_{\mathrm{cond,am}}+R_{\mathrm{conv}}}.

Passo 5

Calculando numericamente até r_{c}:
\ln\!\bigl(\tfrac{0,032}{0,013}\bigr)=0,900, \quad 2\pi\,0,16=1,0053,
R_{\mathrm{cond,am}}=\frac{0,900}{1,0053}=0,895\\ \mathrm{K/W}, \quad R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{5\,(2\pi\cdot0,032)}=0,995\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{tot}}=0,00104+0,895+0,995=1,891\\ \mathrm{K/W}, \quad q'=\frac{65}{1,891}=34{,}4\\ \mathrm{W/m}.

Passo 6

(c) Isolamento de espessura 0,12\\ \mathrm{m} em torno do aço:
r_{\mathrm{ext}}=0,013+0,12=0,133\\ \mathrm{m},
R_{\mathrm{cond,am}}=\frac{\ln\bigl(\tfrac{0,133}{0,013}\bigr)}{2\pi\,0,16}, \quad R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{5\,(2\pi\cdot0,133)},
\ln\!\bigl(\tfrac{0,133}{0,013}\bigr)=2,325, \; R_{\mathrm{cond,am}}=\frac{2,325}{1,0053}=2,313\\ \mathrm{K/W}, \; R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{5\,(2\pi\cdot0,133)}=0,239\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{tot}}=0,00104+2,313+0,239=2,553\\ \mathrm{K/W}, \quad q'=\frac{65}{2,553}=25{,}5\\ \mathrm{W/m}.

Resposta

(a) q'=26{,}5\\ \mathrm{W/m}
(b) r_{c}=0,032\\ \mathrm{m},\quad q'=34{,}4\\ \mathrm{W/m}
(c) q'=25{,}5\\ \mathrm{W/m}

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