Duas chapas, uma de cobre ( k cobre =380 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e outra de aço ( k aço =20 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ), tem a mesma espessura e estão submetidas às mesmas condições de contorno. Qual deve ser a razão entre as áreas dessas chapas para que o fluxo de calor seja igual em ambas?

Passo 1

Temos duas chapas planas de mesma espessura L submetidas à mesma diferença de temperatura \Delta T entre faces. A condutividade térmica da chapa de cobre é k_{\rm Cu}=380\;\mathrm{W/(m\cdot^{\circ}C)} e a do aço é k_{\rm Aço}=20\;\mathrm{W/(m\cdot^{\circ}C)}ç. Precisamos achar a razão entre as áreas A_{\rm Cu} e A_{\rm Aço}ç para que o fluxo de calor estacionário \dot Q seja igual em ambas.

Passo 2

Em regime estacionário e fluxo unidimensional a lei de Fourier diz que
\dot Q = k\,A\,\frac{\Delta T}{L}
Como L e \Delta T são os mesmos para as duas chapas, temos que
\dot Q \propto k\,A.

Passo 3

Para que o fluxo de calor seja igual nas duas chapas, basta igualar
k_{\rm Cu}\,A_{\rm Cu} \;=\; k_{\rm Aço}\,A_{\rm Aço}.çç
Desse modo a razão entre as áreas vem de
\frac{A_{\rm Aço}}{A_{\rm Cu}} =\frac{k_{\rm Cu}}{k_{\rm Aço}}.çç

Passo 4

Substituindo k_{\rm Cu}=380 e k_{\rm Aço}=20ç, obtemos
\frac{A_{\rm Aço}}{A_{\rm Cu}} =\frac{380}{20} =19.ç

Resposta

A razão entre as áreas deve ser
\frac{A_{\rm Aço}}{A_{\rm Cu}}=19,ç
ou seja, a chapa de aço precisa ter área 19 vezes maior que a do cobre para ambos apresentarem o mesmo fluxo de calor.

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