A água está sendo bombeada para dentro de um tanque cônico invertido a uma taxa de 3 m^3 / min. O tanque tem altura de 10 m e um raio da base de 5 m . A que taxa a altura da água no tanque está aumentando quando o nível da água tem 6 m de altura?

Passo 1

O enunciado diz que água entra num tanque cônico invertido a uma taxa de dVdt=3,m^3/min. O cone tem altura total H=10,m e raio da base R=5,m. Quando a altura da água é h=6,m, queremos encontrar dhdt. O conteúdo é taxas relacionadas e vamos usar a fórmula do volume de um cone e diferenciação implícita.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos, a cada altura h da água o raio da superfície livre r se relaciona com h por r/h = R/H. Logo
r = RH,h = 510h = h2

Passo 3

O volume da parte do cone cheia de água em função de h é
V = 13pi r^2 h = 13pi l(h2r)^2 h = pi12h^3

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, usando derivada de h^3:
dVdt = ddt l(pi12h^3r) = pi12cdot3h^2dhdt = pi4h^2dhdt

Passo 5

Isolando dhdt:
dhdt = dVdtpi4h^2 = 4pi h^2dVdt

Passo 6

Substituindo dVdt=3,m^3/min e h=6,m:
dhdt = 4pi,(6)^2cdot3 = 1236pi = 13pi,m/min

Resposta

A altura da água está aumentando a 13pi,m/min.

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