Calcule as derivadas das funções.
f(x)=arcsin (x^3)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela serve para calcular a derivada de uma função que é a composição de duas ou mais funções. Se temos , a derivada .

Passo 3

No nosso caso, onde . Então, vamos identificar as duas funções compostas:
  • Função externa:
  • Função interna:

Passo 4

Vamos derivar a função externa em relação a ddu arcsin(u) = 1raiz1 - u^2 . A derivada de é:

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna dudx = 3x^2 em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
f'(x) = 1raiz1 - u^2 cdot dudx
Substituindo f'(x) = 1raiz1 - (x^3)^2 cdot 3x^2 e :

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da raiz:
(x^3)^2 = x^6
Então:
f'(x) = 3x^2raiz1 - x^6

Resposta

A derivada da função f'(x) = 3x^2raiz1 - x^6 é:

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