Calcule as derivadas das funções.
f(x)=5 ln (x) sin (x)+x^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação da matéria de Cálculo, como a regra do produto (necessária porque temos um produto de funções, e ) e as derivadas básicas de funções como , e .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar:
f(x) = 5 ln(x) sin(x) e x^2
Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 3

Para a primeira parte, , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .

Passo 4

Calculando :
A derivada de é .
Então, .

Passo 5

Calculando :
A derivada de é .
Então, .

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
ddx[5 ln(x) sin(x)] = 5 ( 1x cdot sin(x) + ln(x) cdot cos(x) )
Simplificando:
5 ( sin(x)x + ln(x) cos(x) )

Passo 7

Agora, derivamos a segunda parte da função, .
A derivada de é .
Então, a derivada de é .

Passo 8

Juntando as duas derivadas:
f'(x) = 5 ( sin(x)x + ln(x) cos(x) ) + 2x

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 5 ( sin(x)x + ln(x) cos(x) ) + 2x

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