Calcule as derivadas das funções.
f(x)=3^xlog 3(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=3^xlog3(x). Vamos usar as regras de derivada de exponencial, mudança de base do logaritmo e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, converto log3(x) em função de ln(x) usando mudança de base: log3(x)=ln(x)ln(3).
Com isso, reescrevo a função como
f(x)=3^xlog3(x)=3^xln(x)ln(3)=ln(3),3^xln(x)

Passo 3

Agora defino o numerador e o denominador para aplicar a regra do quociente:
numerador g(x)=ln(3),3^x e denominador h(x)=ln(x).

Passo 4

Calculo as derivadas:
g'(x)=ln(3)cdotddx(3^x)=ln(3)cdot3^xln(3)=(ln(3))^2,3^x,
h'(x)=ddxln(x)=1x

Passo 5

Aplico a regra do quociente l(tfracghr)'=tfracg'h-gh'h^2:
f'(x)=(ln(3))^2,3^xln(x)-ln(3),3^xcdot1x(ln(x))^2

Passo 6

Por fim, fatoro ln(3),3^x no numerador para simplificar:
f'(x)=ln(3),3^xl(ln(3)ln(x)-tfrac1xr)(ln(x))^2

Resposta

f'(x)=ln(3),3^xl(ln(3)ln(x)-tfrac1xr)(ln(x))^2

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