A água está sendo bombeada para dentro de um tanque esférico a uma taxa constante de 100 cm^3 / s. Quão rápido o raio da superfície da água está aumentando quando o raio é de 40 cm ?

Passo 1

O enunciado diz que água entra num “tanque” esférico (na prática, um balão esférico) à taxa constante
dVdt=100 cm^3/s
Queremos saber quão rápido o raio da esfera de água, r, cresce quando r=40 cm. O conteúdo é aplicação de volume de esfera e derivada implícita.

Passo 2

O volume de uma esfera de raio r é dado por
V=43pi r^3
Vamos relacionar V e r e depois derivar em relação ao tempo t.

Passo 3

Derivando ambos os lados de V=tfrac43pi r^3 em relação a t, usando a regra da cadeia, obtemos
dVdt =ddtl(tfrac43pi r^3r) =4pi r^2,drdt
Isolando tfracdrdt
drdt =14pi r^2;dVdt

Passo 4

Substituindo tfracdVdt=100 cm^3/s e r=40 cm,
drdt =14pi,(40)^2times100 =1004picdot1600 =1006400pi =164pi cm/s

Resposta

drdt=164pi cm/s (quando r=40 cm)

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