Em cada item, calcule a integral dupla. Sugestão. Procure alguma mudança de variáveis adequada.
integral duplaR d A, em que R é a região limitada pela elipse $\frac{x{2}}{a{2}}+\frac{y{2}}{b{2}}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaR dA
onde R é a região limitada pela elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
Esse tipo de integral dupla de dA representa a área de R. Vamos usar mudança de variáveis para transformar a elipse num disco de raio 1, cuja área é conhecida.

Passo 2

Proponha a transformação linear
x = a,u, y = b,v
Sob essa mudança, a equação da elipse vira
(a,u)^2a^2 + (b,v)^2b^2 = u^2+v^2=1,
ou seja, a nova região em (u,v) é
D = l(u,v)mid u^2+v^2<=1r,
que é o disco unitário.

Passo 3

Calcule o jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y):
J = det partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = det a & 0 0 & b = a,b
Logo dA = l|!Jr|,du,dv = a,b,du,dv.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral duplaR dA = integral duplaD a,b,du,dv = a,b integral duplaD du,dv
Como D é o disco unitário, em coordenadas polares (u=rcostheta,v=rsintheta) temos
integral duplaD du,dv = integral0^2pi!!integral0^1r,dr,dtheta = 2picdot12 = pi
Portanto
integral duplaR dA = a,b cdot pi = pi,a,b

Resposta

boxedpi,a,b

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