Em cada item, calcule a integral dupla. Sugestão. Procure alguma mudança de variáveis adequada. , em que é a região limitada pela elipse $\frac{x{2}}{a{2}}+\frac{y{2}}{b{2}}=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde é a região limitada pela elipse
Esse tipo de integral dupla de representa a área de . Vamos usar mudança de variáveis para transformar a elipse num disco de raio , cuja área é conhecida.
Passo 2
Proponha a transformação linear
Sob essa mudança, a equação da elipse vira
ou seja, a nova região em é
que é o disco unitário.
Passo 3
Calcule o jacobiano da transformação :
Logo dA = l|!Jr|,du,dv = a,b,du,dv.
Passo 4
Substituindo na integral:
integral duplaR dA = integral duplaD a,b,du,dv = a,b integral duplaD du,dv
Como D é o disco unitário, em coordenadas polares (u=rcostheta,v=rsintheta) temos
integral duplaD du,dv = integral0^2pi!!integral0^1r,dr,dtheta = 2picdot12 = pi