A água tem módulo de compressibilidade volumétrica isotérmica igual a 2,2 \mathrm{GPa}. Sendo assim, qual seria o trabalho necessário para comprimir a quantidade de 1,0 \mathrm{~L} de água por 1,0 \mathrm{~mL} ?

Passo 1

O enunciado nos dá o módulo de compressibilidade volumétrica isotérmica da água B=2{,}2\text{ GPa} e pede o trabalho para comprimir 1{,}0\text{ L} de água em mais 1{,}0\text{ mL}. Vamos usar a definição de módulo de compressibilidade
B = -V\frac{dP}{dV}
e a expressão do trabalho de compressão quasi-estática
W = -\int_{V_0}^{V_1}P\,dV.

Passo 2

Da definição
B = -V\frac{dP}{dV} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dP}{dV} = -\frac{B}{V},
integramos assumindo pressão inicial nula (ou desprezível) até volume final V:
dP = -\frac{B}{V}\,dV \quad\Longrightarrow\quad P(V) = -B\ln\!\bigl(\tfrac{V}{V_0}\bigr).

Passo 3

O trabalho realizado sobre o líquido é
W = -\int_{V_0}^{V_1}P(V)\,dV = -\int_{V_0}^{V_1}\Bigl[-B\ln\!\bigl(\tfrac{V}{V_0}\bigr)\Bigr]dV = B\int_{V_0}^{V_1}\ln\!\bigl(\tfrac{V}{V_0}\bigr)\,dV.
Faça a mudança de variável x = V/V_0, de x_0=1 até x_1=V_1/V_0.

Passo 4

Com V_0=1{,}0\text{ L}=1{,}0\times10^{-3}\text{ m}^3 e \Delta V=V_1-V_0=-1{,}0\times10^{-6}\text{ m}^3 temos x_1=0{,}999. A integral dá
\int_{1}^{0{,}999}\ln(x)\,dV =V_0\Bigl[(1-x_1)+x_1\ln(x_1)\Bigr] \approx V_0\cdot5\times10^{-7}.
Logo
W = B\,V_0\cdot5\times10^{-7}.

Passo 5

Substituindo B=2{,}2\times10^9\text{ Pa} e V_0=1{,}0\times10^{-3}\text{ m}^3:
W \approx 2{,}2\times10^9\cdot1{,}0\times10^{-3}\cdot5\times10^{-7} =1{,}1\text{ J}.
Como atestamos, dá quase o mesmo resultado usando a aproximação linear \tfrac12\Delta P\,\Delta V.

Resposta

O trabalho necessário é aproximadamente 1{,}1\text{ J}.

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