Uma garrafa térmica inicialmente contém 1,1 \mathrm{~L} de água a 60 C . É adicionada à garrafa uma quantidade de gelo a 0 \mathrm{C}\left(L_{f}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}\right) e o sistema atinge equilíbrio térmico à tempe-
ratura de 30 C após algum tempo. (a) Qual a quantidade de gelo que foi adicionada? (b) Qual foi a variação da entropia da água que inicialmente estava na garrafa? (c) Qual foi a variação da entropia do universo?

Passo 1

O enunciado trata de calorimetria e variação de entropia. Temos inicialmente 1{,}1 L de água (densidade 1 g/mL) a 60\,^\circ\mathrm{C}, ou seja massa m_w=1100 g a T_i=60\,^\circ\mathrm{C}. Adiciona-se gelo a 0\,^\circ\mathrm{C} (massa m), que ao fundir e se aquecer leva o sistema a T_f=30\,^\circ\mathrm{C}. Usaremos conservação de energia calorífica e a definição de entropia para cada processo. A capacidade térmica da água é c=1 cal/ g\cdot K e o calor latente de fusão é L_f=80 cal/g.

Passo 2

Aplicamos conservação de energia (sem perdas): o calor cedido pela água ao resfriar de 60\,^\circ\mathrm{C} a 30\,^\circ\mathrm{C} deve igualar o calor absorvido pelo gelo ao fundir e em seguida aquecer de 0\,^\circ\mathrm{C} a 30\,^\circ\mathrm{C}.
O calor cedido pela água é
Q_{\mathrm{cedido}}=m_w\,c\,(T_i-T_f) =1100\cdot1\cdot(60-30)=33000\text{ cal}.
O calor absorvido pelo gelo é
Q_{\mathrm{absorvido}} = m\,L_f + m\,c\,(T_f-0) = m\,(80 + 30)=110\,m\text{ cal}.
Igualando
33000=110\,m \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{33000}{110}=300\text{ g}.

Passo 3

Calculamos a variação de entropia \Delta S_w da água inicial ao esfriar de T_i=60\,^\circ\mathrm{C} a T_f=30\,^\circ\mathrm{C}. Em termos de Kelvin: T_i=333 K e T_f=303 K.
\Delta S_w = \int_{T_i}^{T_f}\frac{m_w\,c\,dT}{T} = m_w\,c\ln\frac{T_f}{T_i} =1100\cdot1\cdot\ln\frac{303}{333} \approx1100\cdot(-0{,}09447) \approx -103{,}9\text{ cal/K}.

Passo 4

Calculamos a variação de entropia \Delta S_{\mathrm{gelo}} do gelo até água a 30\,^\circ\mathrm{C} em duas etapas:
1. Fusão a 0\,^\circ\mathrm{C} ( T_1=273 K):
\Delta S_{\mathrm{fus}} = \frac{m\,L_f}{T_1} = \frac{300\cdot80}{273} \approx87{,}9\text{ cal/K}.
2. Aquecimento da água resultante de 0\,^\circ\mathrm{C} a 30\,^\circ\mathrm{C} ( T_2=303 K):
\Delta S_{\mathrm{aq}} = \int_{T_1}^{T_2}\frac{m\,c\,dT}{T} = m\,c\ln\frac{T_2}{T_1} =300\cdot1\cdot\ln\frac{303}{273} \approx300\cdot0{,}1043 \approx31{,}3\text{ cal/K}.
Somando
\Delta S_{\mathrm{gelo}} =87{,}9 + 31{,}3 =119{,}2\text{ cal/K}.

Passo 5

A variação total de entropia do universo é
\Delta S_{\mathrm{univ}} = \Delta S_w + \Delta S_{\mathrm{gelo}} \approx -103{,}9 + 119{,}2 =15{,}3\text{ cal/K}.

Resposta

(a) 300 g
(b) \Delta S_{\text{água}} \approx -103{,}9\text{ cal/K}á
(c) \Delta S_{\text{universo}} \approx 15{,}3\text{ cal/K}

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