Em uma caixa, temos 100 moléculas de ar. (a) O quão mais raro é encontrar as 100 moléculas na metade de cima da caixa do que 50 moléculas apenas? (b) Calcule a diferença de entropia entre os dois casos. (c) Qual é a probabilidade de que tenhamos ao menos 45 moléculas em cada lado?

Passo 1

O enunciado considera 100 moléculas independentes, cada uma com probabilidade 1/2 de estar na metade de cima ou na metade de baixo da caixa. Isso gera uma distribuição binomial \mathrm{Bin}(n=100,p=1/2). Para resolver as partes, vamos usar:
– A probabilidade de exatamente k moléculas em cima é
P(k)=\binom{100}{k}\bigl(\tfrac12\bigr)^{100}.
– A entropia estatística S de um macroestado com W microestados é S=k_{\rm B}\ln W.
– Para somar probabilidades longe da média, podemos usar aproximação normal com \mu=50 e \sigma=\sqrt{100\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12}=5.

Passo 2

(a) Queremos a razão
\frac{P(100)}{P(50)} =\frac{\binom{100}{100}(1/2)^{100}}{\binom{100}{50}(1/2)^{100}} =\frac{1}{\binom{100}{50}}.
Sabendo que
\binom{100}{50}\approx1{,}0089\times10^{29},
temos
\frac{P(100)}{P(50)}\approx9{,}91\times10^{-30}.
Ou seja, é cerca de 10^{29} a 10^{30} vezes mais raro.

Passo 3

(b) No caso “100 moléculas em cima” há apenas W_1=1 microestado; no caso “50 em cima e 50 em baixo” há W_2=\binom{100}{50} microestados. Logo
\Delta S =S_2-S_1 =k_{\rm B}\ln W_2-k_{\rm B}\ln W_1 =k_{\rm B}\ln\bigl(\binom{100}{50}\bigr).
Usando \binom{100}{50}\approx1{,}0089\times10^{29} obtemos
\Delta S \approx k_{\rm B}\ln(1{,}0089\times10^{29}) \approx k_{\rm B}\times66{,}8 \approx9{,}2\times10^{-22}\,\mathrm{J/K}.

Passo 4

(c) Queremos
P(\text{pelo menos }45\text{ em cada lado}) =P(45\le k\le55) =\sum_{k=45}^{55}\binom{100}{k}\bigl(\tfrac12\bigr)^{100}.
Pelo teorema central do limite, aproximamos k\sim N(50,5^2) e usamos correção de continuidade:
P(45\le k\le55)\approx \Phi\!\bigl(\tfrac{55{,}5-50}{5}\bigr) -\Phi\!\bigl(\tfrac{44{,}5-50}{5}\bigr) = \Phi(1{,}1)-\Phi(-1{,}1) =2\Phi(1{,}1)-1.
Como \Phi(1{,}1)\approx0{,}8643,
P(45\le k\le55)\approx2\times0{,}8643-1=0{,}7286.
Portanto, cerca de 72{,}9\%.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{P(100)}{P(50)}=\frac1{\binom{100}{50}}\approx9{,}9\times10^{-30}.
(b) \displaystyle \Delta S=k_{\rm B}\ln\!\bigl(\binom{100}{50}\bigr)\approx66{,}8\,k_{\rm B}\approx9{,}2\times10^{-22}\,\mathrm{J/K}.
(c) \displaystyle P(45\le k\le55)\approx0{,}7286.

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