Em uma caixa, temos 100 moléculas de ar. (a) O quão mais raro é encontrar as 100 moléculas na metade de cima da caixa do que 50 moléculas apenas? (b) Calcule a diferença de entropia entre os dois casos. (c) Qual é a probabilidade de que tenhamos ao menos 45 moléculas em cada lado?
Passo 1
O enunciado considera
moléculas independentes, cada uma com probabilidade
de estar na metade de cima ou na metade de baixo da caixa. Isso gera uma distribuição binomial
. Para resolver as partes, vamos usar:
– A probabilidade de exatamente moléculas em cima é
– A probabilidade de exatamente
– A entropia estatística
de um macroestado com
microestados é
.
– Para somar probabilidades longe da média, podemos usar aproximação normal com e
.
– Para somar probabilidades longe da média, podemos usar aproximação normal com
Passo 2
(a) Queremos a razão
Sabendo que
temos
Ou seja, é cerca de
a
vezes mais raro.
Passo 3
(b) No caso “100 moléculas em cima” há apenas
microestado; no caso “50 em cima e 50 em baixo” há
microestados. Logo
Usando
obtemos
Passo 4
(c) Queremos
Pelo teorema central do limite, aproximamos
e usamos correção de continuidade:
Como
,
Portanto, cerca de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)