Água é transferida de um reservatório para outro, cujo nível de referência encontra-se 30 m acima do primeiro. Essa transferência é efetuada através de uma tubulação com diâmetro interno igual a 0,254 m e comprimento total de 450 m . Ambos os reservatórios encontram-se sob pressão atmosférica.
Como o número de conexões é pequeno, a perda de carga localizada (em virtude dessas conexões) pode ser atribuída somente a uma válvula globo (posicionada no recalque da bomba centrífuga) utilizada para regular a vazão transferida entre os reservatórios.
A Equação de Bernoulli, modificada para fluidos reais, aplicada entre dois pontos localizados nas superfícies dos reservatórios, leva à obtenção da chamada curva de carga do sistema, que, para a condição de válvula totalmente aberta e variação desprezível dos níveis no interior dos reservatórios, apresenta a seguinte forma:
Hs=30+1055 Q^2+99 Q^2,
na qual Hs é a carga que deve ser desenvolvida pela bomba para que escoe uma vazão volumétrica Q através da tubulação. Nesta equação, [Hs]=m de coluna de fluido escoando e [Q]=m^3 s^-1. Dentre os termos em Q^2 , o de maior coeficiente responde pela perda de carga distribuída (efeitos viscosos na região de escoamento estabelecido).
A curva característica da bomba centrífuga utilizada no sistema pode ser aproximada por:
Hb=150-4050 Q^2,
na qual Hb é a carga desenvolvida pela bomba quando ela bombeia uma vazão volumétrica Q . Também neste caso, [Hb]=m de coluna de fluido escoando e [Q]=m^3 s^-1.
Com base nestas informações e admitindo que se esteja operando em uma faixa de Números de Reynolds, na qual o fator de atrito se mantenha constante (escoamento totalmente turbulento), determine:
a nova vazão com a válvula fechada em 50 %. Considere que a constante da válvula aberta (K ab ) é igual a 5,0 e que, para válvulas globo 50 % fechadas, K=5 K ab .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a transferência de água entre dois reservatórios usando uma tubulação e uma válvula globo. A gente vai trabalhar com conceitos de hidráulica, especificamente usando a Equação de Bernoulli modificada para considerar perdas de carga devido ao atrito e às conexões. Para resolver, vamos precisar entender como montar e igualar as curvas de carga do sistema e da bomba.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas curvas que temos:
  1. Curva de Carga do Sistema (Hs):
    Hs = 30 + 1055 Q^2 + 99 Q^2
    Aqui, $ H_s $ é a carga que a bomba precisa desenvolver, e $ Q $ é a vazão volumétrica. Os termos com $ Q^2 $ representam as perdas de carga distribuídas e localizadas na tubulação.
  2. Curva Característica da Bomba (Hb):
    Hs
    $ H_b $ é a carga que a bomba desenvolve para uma dada vazão $ Q $.
Quando a válvula está aberta ou fechada, ela afeta as perdas de carga na tubulação, modificando a curva de carga do sistema.

Passo 3

A ideia é encontrar a nova vazão $ Q $ quando a válvula está fechada em 50%. Para isso, precisamos ajustar a curva de carga do sistema considerando a nova perda de carga da válvula.
Inicialmente, a curva de carga do sistema com a válvula totalmente aberta é:
Q
Agora, quando a válvula está 50% fechada, a constante da válvula $ K $ aumenta. Sabemos que:
Hs = 30 + 1055 Q^2 + 99 Q^2 = 30 + 1154 Q^2
Essa nova constante afeta a perda de carga da válvula, que é dada por:
K
Então, com a válvula 50% fechada, a perda de carga total no sistema fica:
Kfechada = 5 times Kaberta = 5 times 5 = 25

Passo 4

Agora, temos que igualar a curva de carga do sistema com a curva da bomba para encontrar a nova vazão $ Q $.
Q
Hb = Hs
Vamos resolver essa equação para $ Q $.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com $ Q^2 $:
Q^2
150 - 30 = 4050 Q^2 + 1080 Q^2
Agora, resolvemos para $ Q^2 $:
120 = 5130 Q^2
Q^2
Então, tirando a raiz quadrada para encontrar $ Q $:
Q^2 = 1205130

Resposta

A nova vazão com a válvula fechada em 50 % é aproximadamente $ 0{,}153 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $.

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