Água de viscosidade cinemática 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} escoa horizontalmente num tubo de aço comercial de 10 cm de diâmetro, a uma velocidade média de 1,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Todas as hipóteses utilizadas para este tipo de escoamento são válidas. Pede-se: (a) o tipo de escoamento (laminar, transitório ou turbulento), e justificar, (b) em caso de escoamento turbulento, determinar a espessura da subcamada viscosa utilizando a 1^{\text {a }}. distribuição para o perfil de velocidades, a rugosidade da parede, e o tipo de parede (hidraulicamente lisa, transição, ou hidraulicamente rugosa). Justificar com base nos valores da espessura e da rugosidade, e posteriormente pelo diagrama de Moody, (c) os perfis de velocidade do escoamento para toda a região da parede. Dado: \rho=100 \mathrm{utm} / \mathrm{m}^{3}.
R: (a) sem resposta; (b) 0,063 \mathrm{~mm} (espessura); (c) sem resposta.

Passo 1

O enunciado dá escoamento de água (
\nu=10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}
) em tubo de diâmetro D=0,10\\ \mathrm{m} com velocidade média U=1,6\\ \mathrm{m/s} e pede
(a) tipo de escoamento,
(b) em caso turbulento, espessura da subcamada viscosa \delta_v, classificação hidraulicamente lisa/transição/áspera e verificação pelo diagrama de Moody,
(c) perfis de velocidade ao longo da região próxima à parede e no núcleo.

Passo 2

Calculamos o número de Reynolds
\mathrm{Re} = \frac{U\,D}{\nu} = \frac{1{,}6 \times 0{,}10}{10^{-6}} = 1{,}6\times10^{5}.
Como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é plenamente turbulento.

Passo 3

Para fluxo turbulento em tubo hidraulicamente liso podemos usar a lei de Blasius
f = 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0,25}.
Assim,
f = 0{,}3164\,(1{,}6\times10^{5})^{-0,25}\approx0{,}0160.

Passo 4

Definimos a velocidade de atrito u_{*} por
u_{*} = U\,\sqrt{\frac{f}{8}},
então
u_{*} = 1{,}6\,\sqrt{\frac{0{,}0160}{8}}\approx0{,}0715\\ \text{m/s}.

Passo 5

Na subcamada viscosa aplica-se a lei linear u^+ = y^+ até y^+_{\rm crit}\approx4{,}5, onde
y^+ = \frac{u_{*}\,y}{\nu}.
Logo, a espessura da subcamada viscosa é
\delta_v = y_{\rm crit} = \frac{4{,}5\,\nu}{u_{*}} = \frac{4{,}5\times10^{-6}}{0{,}0715}\approx6{,}3\times10^{-5}\\ \text{m} = 0{,}063\\ \text{mm}.

Passo 6

A rugosidade característica de aço comercial é \epsilon_s\approx0{,}046 mm. Calculamos
\epsilon^+ = \frac{\epsilon_s\,u_{*}}{\nu} = \frac{4{,}6\times10^{-5}\times0{,}0715}{10^{-6}}\approx3{,}3<5,
logo \epsilon^+<5 e a parede é hidraulicamente lisa. No diagrama de Moody, para \mathrm{Re}=1{,}6\times10^5 e k/D\ll10^{-3}, obtemos o mesmo f da lei de Blasius, confirmando a condição de parede lisa.

Passo 7

Os perfis de velocidade em função da distância y à parede são, em coordenadas adimensionais u^+=u/u_*, y^+=u_*y/\nu:
Viscous sublayer ( 0<= y^+ <=4,5)
u^+ = y^+.
Log-layer ( 30<= y^+ <= y^+_{\max})
u^+ = \frac{1}{\kappa}\,\ln y^+ + B,
com \kappa\approx0{,}41, B\approx5{,}0.
Entre y^+\approx4{,}5 e y^+\approx30 há a zona de buffer, sem fórmula universal simples. No centro do tubo ( y=R, y^+=u_*R/\nu\approx715) atinge-se u=U_{\max}.

Resposta

(a) Escoamento turbulento, pois \mathrm{Re}=1{,}6\times10^5>4000\). (b) Espessura da subcamada viscosa \(\delta_v=0{,}063\\ \mathrm{mm}\); parede hidraulicamente lisa (\(\epsilon^+<5\)), confirmado pelo diagrama de Moody. \text{(c)} Perfil de velocidade adimensional: \[\begin{cases} u^+ = y^+, &0\le y^+\le 4{,}5,\\[6pt] u^+ = \tfrac{1}{0{,}41}\ln y^+ + 5{,}0, &30\le y^+\le y^+_{\max}\,. \end{cases}
Na região de buffer ((4{,}5<y^+<30]) há transição suave entre os dois perfis.]

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