Mostrar que: (a)
\overline{u^{\prime}}=0, e (b) \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial \bar{u}}{\partial y} num escoamento turbulento.

Passo 1

O enunciado envolve a decomposição de Reynolds numa direção x de um escoamento turbulento, onde a velocidade instantânea u(x,y,z,t) é escrita como soma de uma média temporal \bar u(x,y,z) e de uma flutuação u'(x,y,z,t):
u(x,y,z,t)=\bar u(x,y,z)+u'(x,y,z,t).
Precisamos usar a definição de média temporal
\bar u(x,y,z)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}u(x,y,z,t)\,\mathrm{d}t
e mostrar que (a) \overline{u'}=0 e que (b) a derivada parcial em y “comuta” com a média, isto é,
\frac{\partial \bar u}{\partial y} = \overline{\frac{\partial u}{\partial y}}.

Passo 2

Para (a), computamos diretamente a média de u':
\overline{u'}(x,y,z) =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}u'(x,y,z,t)\,\mathrm{d}t =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\bigl[u(x,y,z,t)-\bar u(x,y,z)\bigr]\mathrm{d}t.
Como \bar u não depende de t, tira-se fora da integral:
\overline{u'} =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}u\,\mathrm{d}t-\frac{\bar u}{T}\int_{0}^{T}1\,\mathrm{d}t =\bar u-\bar u =0.

Passo 3

Para (b), partimos de
\bar u(x,y,z) =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}u(x,y,z,t)\,\mathrm{d}t
e diferenciamo em relação a y. Como T é constante e a derivada \partial/\partial y pode entrar sob o sinal de integral (teorema da diferenciação sob o integral), obtemos
\frac{\partial \bar u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Biggl[\frac{1}{T}\int_{0}^{T}u\,\mathrm{d}t\Biggr] =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{\partial u}{\partial y}\,\mathrm{d}t =\overline{\frac{\partial u}{\partial y}}.

Resposta

(a) \displaystyle \overline{u'}=0.
(b) \displaystyle \frac{\partial \bar u}{\partial y}=\overline{\frac{\partial u}{\partial y}}.

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