A água,descendo por um trecho reto de um rio,em geral escras mais rapidamente no meio e a velocidade escalar diminui para quase zero nas margens.Considere um trecho longo de rio er- coando para o norte com as margens paralelas distando 40 m uma da outra.Se a velocidade máxima da água é de
,pode-se utilizar uma função quadrática como um modelo básico pana a taxa de fluxo de água
unidades de distância da margen oeste:
.
(a)Um barco se move com uma velocidade escalar constamie de
a partir de um ponto de A na margem oeste enquanto se mantém direcionado perpendicularmente à margem.A que distância rio abaixo,na margem oposta,o barco vai atingir a terra firme?Faça um gráfico da trajetória do barco.
(b)Suponha que quiséssemos pilotar o barco para terra no pomto
na margem leste em frente
.Se mantivermos uma velocidate constante de
,e uma direç⿳̆人口o constante,encontre o ângulo em que o barco deve dirigir.Depois,faça o gráfico do caminho real que o barco segue.Essa trajetória parece realista?
(a)Um barco se move com uma velocidade escalar constamie de
(b)Suponha que quiséssemos pilotar o barco para terra no pomto
Passo 1
O enunciado modela a velocidade do rio (fluindo para o norte, eixo
) em função da posição
(distância da margem oeste, eixo
) por
A largura do rio é
m e a velocidade máxima no meio é
m/s. O barco tem velocidade relativa à água constante de
m/s.
(a) Queremos que ele siga perpendicular às margens (isto é, rumo leste puro) e descobrir onde atinge na margem leste, ou seja, o deslocamento em
. Vamos usar parametrização em tempo.
(b) Queremos agora chegar em mantendo direção fixa e velocidade
m/s relativa à água, achando o ângulo de apontamento e a trajetória resultante.
(a) Queremos que ele siga perpendicular às margens (isto é, rumo leste puro) e descobrir onde atinge
(b) Queremos agora chegar em
Passo 2
(a) Como o barco aponta puramente para leste, sua componente de velocidade em
é
logo atinge a margem leste
em
A componente
do movimento vem só da corrente, então
com
. O deslocamento em
é
Calculemos:
Multiplicando por
dá
Portanto, o barco chega na margem leste
m rio abaixo de
.
Passo 3
Ainda em (a), a trajetória pode ser descrita por
ou, eliminando
,
Esse gráfico é uma curva que sai de
e cresce até
.
Passo 4
(b) Agora o barco aponta num ângulo
em relação ao eixo
(leste positivo), de modo que sua velocidade relativa seja
A velocidade no referencial da terra é
Para chegar em
partindo de
, queremos
. Usando
temos
Já calculamos
.
Logo
Logo
Isto dá
ou seja, o barco deve apontar
para o sul do leste.
Passo 5
A trajetória resultante é
que sai de
, desce (rumo ao sul) próximo da margem oeste porque a corrente é fraca, depois sobe (rumo ao norte) quando a corrente é mais forte, e finalmente atinge
. Esse “mergulho” para o sul e depois retorno para o norte é realista, pois próximo à margem a corrente fraca permite ao barco empurrar rio acima, e no meio a corrente dominante arrasta rio abaixo, resultando nessa curva suave.
Resposta
(a) O barco atinge a margem leste em
, ou seja,
m rio abaixo de
.
(b) Deve apontar (ou
para o sul do leste); a trajetória é
(b) Deve apontar
chegando em
, com a forma descrita acima.