A água,descendo por um trecho reto de um rio,em geral escras mais rapidamente no meio e a velocidade escalar diminui para quase zero nas margens.Considere um trecho longo de rio er- coando para o norte com as margens paralelas distando 40 m uma da outra.Se a velocidade máxima da água é de 3 m / s ,pode-se utilizar uma função quadrática como um modelo básico pana a taxa de fluxo de água x unidades de distância da margen oeste: f(x)=3200 x(40-x)
(a)Um barco se move com uma velocidade escalar constamie de 5 m / s a partir de um ponto de A na margem oeste enquanto se mantém direcionado perpendicularmente à margem.A que distância rio abaixo,na margem oposta,o barco vai atingir a terra firme?Faça um gráfico da trajetória do barco.
(b)Suponha que quiséssemos pilotar o barco para terra no pomto B^B na margem leste em frente A .Se mantivermos uma velocidate constante de 5 m / s ,e uma direç⿳̆人口o constante,encontre o ângulo em que o barco deve dirigir.Depois,faça o gráfico do caminho real que o barco segue.Essa trajetória parece realista?

Passo 1

O enunciado modela a velocidade do rio (fluindo para o norte, eixo y) em função da posição x (distância da margem oeste, eixo x) por
f(x)=3200,x,(40-x)(m/s), 0<= x<=40
A largura do rio é 40 m e a velocidade máxima no meio é 3 m/s. O barco tem velocidade relativa à água constante de 5 m/s.
(a) Queremos que ele siga perpendicular às margens (isto é, rumo leste puro) e descobrir onde atinge x=40 na margem leste, ou seja, o deslocamento em y. Vamos usar parametrização em tempo.
(b) Queremos agora chegar em B=(40,0) mantendo direção fixa e velocidade 5 m/s relativa à água, achando o ângulo de apontamento e a trajetória resultante.

Passo 2

(a) Como o barco aponta puramente para leste, sua componente de velocidade em x é
dxdt=5, x(0)=0,
logo atinge a margem leste x=40 em
T=405=8 s
A componente y do movimento vem só da corrente, então
dydt=fl(x(t)r)=3200,x(t)l(40-x(t)r),
com x(t)=5t. O deslocamento em y é
y(T)=integral0^Tf(5t),dt =integral0^83200(5t)(40-5t),dt
Calculemos:
integral0^8(5t)(40-5t),dt =integral0^8(200t-25t^2),dt =200cdot8^22-25cdot8^33 =6400-128003 =64003
Multiplicando por 3/200
y(8)=3200cdot64003=32 m
Portanto, o barco chega na margem leste 32 m rio abaixo de A.

Passo 3

Ainda em (a), a trajetória pode ser descrita por
x(t)=5t, y(t)=integral0^t3200(5s)(40-5s),ds,
ou, eliminando t=x/5,
y(x) =integral0^x3200,x'5,(40-x'),dx' =1200!integral0^xx'(40-x'),dx' =x^210-x^3600
Esse gráfico é uma curva que sai de (0,0) e cresce até (40,32).

Passo 4

(b) Agora o barco aponta num ângulo theta em relação ao eixo x (leste positivo), de modo que sua velocidade relativa seja
l(5costheta,;5sinthetar)
A velocidade no referencial da terra é
dxdt=5costheta, dydt=5sintheta+f(x)
Para chegar em B=(40,0) partindo de (0,0), queremos y(40)=0. Usando
dydx =dy/dtdx/dt =tantheta+f(x)5costheta,
temos
0=y(40)-y(0) =integral0^40!l(tantheta+f(x)5costhetar),dx =40tantheta+15costhetaintegral0^40f(x),dx
Já calculamos
integral0^40f(x),dx=160.
Logo
0=40tantheta+1605costheta ;Longrightarrow; 0=40tantheta+32costheta ;Longrightarrow; sintheta=-3240=-45
Isto dá
theta=arcsinl(-tfrac45r)approx -53,13^circ,
ou seja, o barco deve apontar 53,13^circ para o sul do leste.

Passo 5

A trajetória resultante é
y(x) =integral0^xl(tantheta+f(x')5costhetar)dx' =-43x+1200l(20x^2-tfracx^33r),
que sai de (0,0), desce (rumo ao sul) próximo da margem oeste porque a corrente é fraca, depois sobe (rumo ao norte) quando a corrente é mais forte, e finalmente atinge (40,0). Esse “mergulho” para o sul e depois retorno para o norte é realista, pois próximo à margem a corrente fraca permite ao barco empurrar rio acima, e no meio a corrente dominante arrasta rio abaixo, resultando nessa curva suave.

Resposta

(a) O barco atinge a margem leste em (40,32), ou seja, 32 m rio abaixo de A.
(b) Deve apontar thetaapprox -53,13^circ (ou 53,13^circ para o sul do leste); a trajetória é
y(x)=-tfrac43x+tfrac1200l(20x^2-tfracx^33r),
chegando em (40,0), com a forma descrita acima.

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