Determine, usando a definição, qual a derivada da função f(x)=a x^2+b x+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de derivada usando a definição. A gente precisa encontrar a derivada da função f(x) = a x^2 + b x + c . Para isso, vamos usar o conceito básico de derivada, que mede a taxa de variação da função em relação a x .

Passo 2

Primeiro, lembra como a derivada é definida? É o limite quando h tende a zero de f(x + h) - f(x)h. Vamos escrever isso para a nossa função:
f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h

Passo 3

Agora, vamos calcular f(x + h) . Substituindo x por x + h na função original:
f(x + h) = a (x + h)^2 + b (x + h) + c

Passo 4

Vamos expandir (x + h)^2 :
(x + h)^2 = x^2 + 2x h + h^2
Então,
f(x + h) = a (x^2 + 2x h + h^2) + b x + b h + c

Passo 5

Distribuindo o a :
f(x + h) = a x^2 + 2a x h + a h^2 + b x + b h + c

Passo 6

Agora, vamos subtrair f(x) de f(x + h) :
f(x + h) - f(x) = (a x^2 + 2a x h + a h^2 + b x + b h + c) - (a x^2 + b x + c)
Isso simplifica para:
f(x + h) - f(x) = 2a x h + a h^2 + b h

Passo 7

Dividimos tudo por h :
f(x + h) - f(x)h = 2a x + a h + b

Passo 8

Agora, tiramos o limite quando h tende a zero:
f'(x) = limh to 0 (2a x + a h + b) = 2a x + b

Resposta

A derivada da função f(x) = a x^2 + b x + c é:
f'(x) = 2a x + b

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