O plano
contém o equador de um planeta de massa
, centrado na origem, e uma partícula de massa
se desloca ao longo da curva
. A força gravitacional
que o planeta exerce sobre a partícula é dada por
onde
é função potencial gravitacional
. A força gravitacional é a resultante que age sobre a partícula, portanto, a Segunda Lei de Newton garante que
. Com essa notação, a energia mecânica da partícula é
.
a) Calcule as derivadas parciais
e
. Em seguida, justifique a afirmação de que
é diferenciável em seu domínio.
Resposta:
e
, que são contínuas no domínio. Logo
é diferenciável.
b) Esboce a curva de nível
de
, que contém o ponto
na imagem. Explique o formato da curva esboçada. Resposta: É um círculo centrado na origem.
c) Mostre que
.
Resposta: Basta usar a regra do produto.
d) Mostre que a energia mecânica da partícula é constante.
Resposta: Demonstração igual à do livro.
e) Use o item anterior para verificar que, se a partícula se desloca sobre uma curva de nível da função
, então
é constante.
Resposta: Se
e
são constantes, então
tem que ser constante pela equação do enunciado.
a) Calcule as derivadas parciais
Resposta:
b) Esboce a curva de nível
c) Mostre que
d) Mostre que a energia mecânica da partícula é constante.
e) Use o item anterior para verificar que, se a partícula se desloca sobre uma curva de nível da função
Resposta: Se
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado fala de uma partícula de massa
se mexendo no plano
em volta de um planeta de massa
. A gente tem:
- Potencial gravitacional
- Força
e a Segunda Lei de Newton . - Energia mecânica
O que precisamos fazer:
a) Calcular e
e explicar por que
é diferenciável.
b) Desenhar a curva de nível (contendo um ponto
).
c) Provar que .
d) Mostrar que é constante.
e) Concluir que, se segue um nível de
, então
é constante.
a) Calcular
b) Desenhar a curva de nível
c) Provar que
d) Mostrar que
e) Concluir que, se
Os conteúdos envolvidos são: derivada parcial, critério de diferenciabilidade (função
), curvas de nível, produto interno e regra do produto, e conservação de energia via Segunda Lei de Newton.
Passo 2
Item (a): calcular as derivadas parciais.
- Escrevemos
, então . - Pela regra da cadeia,
- De modo análogo
- Como
e são combinações contínuas de fora da origem, elas são contínuas no domínio . Logo ali e é diferenciável.
Passo 3
Item (b): curva de nível de
.
- Nível
dado por constante. -
. - Isso é exatamente um círculo centrado na origem de raio
. - Intuitivamente, como
depende só de , as curvas são círculos concêntricos.
Passo 4
Item (c): derivada de
.
- Pela definição
. - Aplicando a regra do produto interno:
Passo 5
Item (d): energia mecânica constante.
- Calcula a derivada
- Mas pela Segunda Lei
, então . - Logo
, ou seja, é constante.
Passo 6
Item (e): velocidade constante em nível de
.
- Se
está em um nível, é constante. - Como
é constante também, da expressão
a única forma de a soma de dois termos ser constante, sendo um deles fixo, é
também fixo.
3) Logo é constante.
3) Logo
Resposta
a)
Como essas derivadas parciais são contínuas em ,
é diferenciável lá.
Como essas derivadas parciais são contínuas em
b) A curva de nível
é o círculo de raio
centrado na origem.
c)
d) A energia
é constante.
e) Se
segue um nível de
, então
é constante, logo
é constante.