O plano x O y contém o equador de um planeta de massa M, centrado na origem, e uma partícula de massa m se desloca ao longo da curva P(t)=(x(t), y(t)). A força gravitacional F(x, y) que o planeta exerce sobre a partícula é dada por F(x, y)=nabla f(x, y) onde f é função potencial gravitacional f(x, y)=G M mraizx^2+y^2. A força gravitacional é a resultante que age sobre a partícula, portanto, a Segunda Lei de Newton garante que F(P(t))=m P^prime prime(t). Com essa notação, a energia mecânica da partícula é E(t)=(m / 2)|P^prime(t)|^2-f(P(t)).
a) Calcule as derivadas parciais fx(x, y) e fy(x, y). Em seguida, justifique a afirmação de que f é diferenciável em seu domínio.
Resposta: fx(x, y)=-G M m x(x^2+y^2)^32 e fy(x, y)= -G M m y(x^2+y^2)^32, que são contínuas no domínio. Logo f é diferenciável.
b) Esboce a curva de nível C de f, que contém o ponto A na imagem. Explique o formato da curva esboçada. Resposta: É um círculo centrado na origem.
c) Mostre que dd t|P^prime(t)|^2=2lang<= P^prime(t), P^prime prime(t)rang<=.
Resposta: Basta usar a regra do produto.
d) Mostre que a energia mecânica da partícula é constante.
Resposta: Demonstração igual à do livro.
e) Use o item anterior para verificar que, se a partícula se desloca sobre uma curva de nível da função f, então |P^prime(t)| é constante.
Resposta: Se E(t) e f(P(t)) são constantes, então |P^prime(t)|^2 tem que ser constante pela equação do enunciado.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado fala de uma partícula de massa m se mexendo no plano xy em volta de um planeta de massa M. A gente tem:
  • Potencial gravitacional
f(x,y)=G,M,mraizx^2+y^2,
  • Força F=nabla f e a Segunda Lei de Newton m,P''(t)=F(P(t)).
  • Energia mecânica
E(t)=tfrac m2|P'(t)|^2 ;-; f(P(t)),
O que precisamos fazer:
a) Calcular partial f/partial x e partial f/partial y e explicar por que f é diferenciável.
b) Desenhar a curva de nível f=const (contendo um ponto A).
c) Provar que ddt|P'(t)|^2=2lang<= P'(t),P''(t)rang<=.
d) Mostrar que E(t) é constante.
e) Concluir que, se P(t) segue um nível de f, então |P'(t)| é constante.
Os conteúdos envolvidos são: derivada parcial, critério de diferenciabilidade (função C^1), curvas de nível, produto interno e regra do produto, e conservação de energia via Segunda Lei de Newton.

Passo 2

Item (a): calcular as derivadas parciais.
  1. Escrevemos r(x,y)=raizx^2+y^2, então f(x,y)=G,M,m;r^-1.
  2. Pela regra da cadeia,
fx=partialpartial xl(GMm,r^-1r) =G,M,m;l(-1r),r^-2,partial rpartial x =-G,M,m,1r^2,xr =-G,M,m,x(x^2+y^2)^3/2,
  1. De modo análogo
fy=-G,M,m,y(x^2+y^2)^3/2,
  1. Como fx e fy são combinações contínuas de x,y fora da origem, elas são contínuas no domínio (x,y)neq(0,0). Logo fin C^1 ali e é diferenciável.

Passo 3

Item (b): curva de nível de f.
  1. Nível C dado por f(x,y)=c constante.
  2. GMmraizx^2+y^2=c;Longrightarrow;raizx^2+y^2=GMmc,.
  3. Isso é exatamente um círculo centrado na origem de raio R=GMm/c.
  4. Intuitivamente, como f depende só de r=raizx^2+y^2, as curvas f=const são círculos concêntricos.

Passo 4

Item (c): derivada de |P'(t)|^2.
  1. Pela definição |P'|^2=lang<= P',P'rang<=.
  2. Aplicando a regra do produto interno:
ddt|P'|^2 = ddtlang<= P',P'rang<= =lang<= P'',P'rang<=+lang<= P',P''rang<= =2,lang<= P',P''rang<=,

Passo 5

Item (d): energia mecânica constante.
  1. Calcula a derivada
d Edt = m2 ddt|P'|^2;-;llang<=nabla f(P),P'rrang<= = m2cdot2lang<= P',P''rang<=-lang<=nabla f(P),P'rang<= =mlang<= P',P''rang<=-lang<=nabla f(P),P'rang<=
  1. Mas pela Segunda Lei mP''=nabla f(P), então mlang<= P',P''rang<==lang<=nabla f(P),P'rang<=.
  2. Logo d Edt=0, ou seja, E(t) é constante.

Passo 6

Item (e): velocidade constante em nível de f.
  1. Se P(t) está em um nível, f(P(t)) é constante.
  2. Como E(t) é constante também, da expressão
E=tfrac m2|P'|^2 - f(P)
a única forma de a soma de dois termos ser constante, sendo um deles fixo, é |P'(t)|^2 também fixo.
3) Logo |P'(t)| é constante.

Resposta

a)
fx=-G M m,dfracx(x^2+y^2)^3/2, fy=-G M m,dfracy(x^2+y^2)^3/2
Como essas derivadas parciais são contínuas em (x,y)neq(0,0), f é diferenciável lá.
b) A curva de nível f(x,y)=c é o círculo de raio R=GMm/c centrado na origem.
c) ddt|P'(t)|^2=2,lang<= P'(t),P''(t)rang<=,
d) A energia E(t)=tfrac m2|P'(t)|^2-f(P(t)) é constante.
e) Se P(t) segue um nível de f, então f(P(t)) é constante, logo |P'(t)| é constante.

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