Calcule o volume do sólido abaixo do plano z=4 x e acima do círculo x^2+y^2=16. (Dica: faça um esboço do sólido, note que é possível fazer a integração sobre uma parte da região de integração, e multiplicar esse valor por 2.)

Passo 1

Temos um sólido limitado inferiormente pelo disco de raio 4 no plano z=0, isto é, pela região x^2+y^2<=16, e superiormente pelo plano z=4x. O conteúdo envolvido é cálculo de volume por integração dupla.

Passo 2

Note que a função z=4x é não negativa apenas quando x>=0. Para x<0, o valor de z=4x é negativo, o que ficaria abaixo do plano z=0. O volume geométrico total é a soma dos volumes positivos e negativos em módulo, isto é, o dobro do volume da metade com x>=0.

Passo 3

Na metade com x>=0, a região de integração é

Passo 4

0<= x<=4, -raiz16-x^2<= y<=raiz16-x^2

Passo 5

O volume dessa metade é dado por

Passo 6

Passo 7

Integramos primeiro em y:

Passo 8

integral-raiz16-x^2^raiz16-x^24x,dy=4xcdot2raiz16-x^2=8xraiz16-x^2

Passo 9

Portanto,

Passo 10

V1=integral0^48xraiz16-x^2,dx

Passo 11

Fazendo a substituição u=16-x^2, du=-2x,dx, quando x=0 temos u=16 e quando x=4 temos u=0. Assim:

Passo 12

V1=8integral0^4xraiz16-x^2,dx =8cdot-12integral16^0raizu,du =4integral0^16u^1/2,du =4cdot23(16)^3/2 =5123

Passo 13

Como o volume total é o dobro de V1, basta multiplicar por 2.

Resposta

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