Calcule o volume do sólido abaixo do plano
e acima do círculo
. (Dica: faça um esboço do sólido, note que é possível fazer a integração sobre uma parte da região de integração, e multiplicar esse valor por 2.)
Passo 1
Temos um sólido limitado inferiormente pelo disco de raio 4 no plano
, isto é, pela região
, e superiormente pelo plano
. O conteúdo envolvido é cálculo de volume por integração dupla.
Passo 2
Note que a função
é não negativa apenas quando
. Para
, o valor de
é negativo, o que ficaria abaixo do plano
. O volume geométrico total é a soma dos volumes positivos e negativos em módulo, isto é, o dobro do volume da metade com
.
Passo 3
Na metade com
, a região de integração é
Passo 4
Passo 5
O volume dessa metade é dado por
Passo 6
Passo 7
Integramos primeiro em
:
Passo 8
Passo 9
Portanto,
Passo 10
Passo 11
Fazendo a substituição
,
, quando
temos
e quando
temos
. Assim:
Passo 12
Passo 13
Como o volume total é o dobro de
, basta multiplicar por 2.