Arrasto aerodinâmico e momento sobre uma tubulação. Uma tubulação de formato cilíndrico com 1 m de diâmetro e 25 m de comprimento está exposta a um vento uniforme de 50 km/h nas condições de atmosfera padrão. Efeitos de extremidade e de rajadas podem ser desprezados. Monte, no computador (em qq software de alto nível), um programa que calcule o
momento fletor nas extremidades devido às forças do vento. Faça cálculos de força de arrasto para diferentes valores de Reynolds (40, 100, 200, 500, 1000, 5000, 10000, 100000) e, em seguida, monte gráficos para analisar o comportamento da força de arrasto em função dos números de Reynolds informados e da força de arrasto em função do coeficiente de arrasto. Ou seja, monte gráficos de: ( R e \times F d) e ( R e \times C d ).
Dados do tubo: D=1 \mathrm{~m}, L=25 \mathrm{~m}, em escoamento uniforme com: V=50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ; p=101 \mathrm{kPa}(\mathrm{abs}); massa específica do ar =1,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; viscosidade absoluta ar =1,79 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}; Efeito de extremidade podem ser desprezados.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o momento fletor nas extremidades de uma tubulação cilíndrica causado pelas forças do vento. Pedidos e dados fornecidos:
  • Perguntas que o enunciado faz:
    • Calcular a força de arrasto F_D para os números de Reynolds \,40,\;100,\;200,\;500,\;1000,\;5000,\;10000,\;100000.
    • Calcular o momento fletor nas extremidades devido a essas forças do vento.
    • Montar gráficos de Re \times F_D e Re \times C_D.
  • Dados relevantes dados no enunciado:
    • Diâmetro da tubulação: D=1\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento da tubulação: L=25\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade de referência (fornecida pelo enunciado): V_{\text{fixa}}=50\\ \mathrm{km/h}.
    • Pressão ambiente (não necessária diretamente nos cálculos de arrasto): p=101\\ \mathrm{kPa}.
    • Massa específica do ar: \rho=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Viscosidade dinâmica do ar: \mu=1{,}79\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
    • Efeitos de extremidade e rajadas podem ser desprezados.
  • Observações para resolver (não é pergunta, só informações úteis que vieram no enunciado):
    • O enunciado pede cálculo para uma lista de números de Reynolds — isto será tratado como um estudo paramétrico em que cada Re determina uma velocidade associada V=Re\,\nu/D (quando quisermos variar Re). Também será calculado o caso real com V_{\text{fixa}}=50\\ \mathrm{km/h} e o Re correspondente.
    • Será necessário obter valores de C_D (coeficiente de arrasto) em função de Re; como C_D é empírico, será usada uma aproximação/ interpolação a partir de dados experimentais típicos para cilindro circular.

Passo 2

O que é o número de Reynolds e como usá-lo aqui.
  • Definição: o número de Reynolds mede a razão entre forças inerciais e viscosas no escoamento. Para um cilindro de diâmetro D em um escoamento com velocidade característica V e viscosidade cinemática \nu, usa-se
Re=\frac{V D}{\nu}.
  • A viscosidade cinemática \nu relaciona-se com a viscosidade dinâmica \mu e a densidade \rho por
\nu=\frac{\mu}{\rho}.
  • Vamos calcular \nu com os dados fornecidos.
\nu=\frac{1{,}79\times10^{-5}}{1{,}23}=1{,}455284553\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}\\ (\text{aprox. }1{,}4553\times10^{-5}).
  • Para um Re dado, se quisermos a velocidade associada, invertimos a fórmula:
V = \frac{Re\;\nu}{D}.
(Como D=1\\ \mathrm{m}, V=Re\;\nu numericamente.)

Passo 3

A fórmula da força de arrasto e o momento fletor nas extremidades (como aplicá-las na prova).
  • Força de arrasto total em um cilindro (projetado perpendicularmente ao vento): a pressão dinâmica atua sobre a área projetada A=D\cdot L. A fórmula padrão é
F_D = \frac{1}{2}\,\rho\,V^2\,A\,C_D
onde
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • V é a velocidade do escoamento ( \mathrm{m/s}),
  • A é a área projetada perpendicular ao escoamento; para cilindro longo A=D\cdot L ( \mathrm{m^2}),
  • C_D é o coeficiente de arrasto (adimensional), função empírica de Re.
  • Observação prática: na prova, memorize que para cilindro longo a área projetada por unidade de comprimento é simplesmente D (m), então por metro de comprimento a força por unidade de comprimento é \tfrac{1}{2}\rho V^2 D C_D.
  • Local de aplicação resultante e momento fletor nas extremidades:
    • A resultante da força distribuída por L pode ser tratada como uma força concentrada equivalente F_D aplicada no centróide da área projetada (o ponto médio do comprimento), isto é, a L/2 do extremo.
    • Assim o momento fletor nas extremidades devido à força resultante (braço L/2) é
M_{\text{ext}} = F_D\cdot\frac{L}{2}.
  • Observação: o enunciado/figura mostra exatamente essa montagem (força resultante atuando ao nível do meio do tubo, braço de alavanca L/2). Na prova, se pedirem “momento nas extremidades”, verifique sempre o ponto de aplicação resultante; aqui adotamos o modelo usual de força equivalente no ponto médio.

Passo 4

Coeficiente de arrasto C_D — como obter e como vou proceder no cálculo prático.
  • Importante: o C_D para cilindro circular é experimental e depende de Re. Não existe uma expressão analítica simples válida para toda a faixa; normalmente recorre-se a curvas experimentais ou tabelas. Na prova pode ser pedido que se use um gráfico fornecido.
  • Aqui, para fazer os cálculos num programa, vou usar uma tabela aproximada (valores típicos experimentais para um cilindro circular de superfície lisa) e interpolar entre esses pontos. Valores típicos (aproximação representativa) usados neste exercício:
\begin{array}{c|c} Re & C_D\\hline 40 & 2{,}20\\\\ 100 & 1{,}70\\\\ 200 & 1{,}40\\\\ 500 & 1{,}20\\\\ 1000 & 1{,}15\\\\ 5000 & 1{,}10\\\\ 10000 & 1{,}12\\\\ 100000 & 1{,}05 \end{array}
  • Observação didática: esses números são aproximações retiradas de curvas experimentais clássicas. No computador vou fazer interpolação logarítmica (interpolar em log10(Re) versus log10(C_D) ou em log10(Re) vs C_D conforme necessário) para evitar saltos bruscos. Em prova, se houver gráfico dado, leia C_D diretamente no Re pedido.
  • Assim, para cada Re da lista: calculo V=Re\,\nu, obtenho C_D por interpolação na tabela, calculo F_D com a fórmula da etapa anterior e então M_{\text{ext}}=F_D\cdot(L/2).

Passo 5

Programa (em Python) que implementa o procedimento e plota os gráficos pedidos.
  • Aqui está um código simples em Python (usar com numpy e matplotlib). O código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import interp1d

# dados do problema
D = 1.0                # m
L = 25.0               # m
rho = 1.23             # kg/m^3
mu = 1.79e-5           # kg/(m.s)
nu = mu/rho            # m^2/s

# Requeridos
Re_list = np.array([40,100,200,500,1000,5000,10000,100000], dtype=float)

# tabela aproximada de Cd (valores experimentais aproximados)
Re_table = np.array([40,100,200,500,1000,5000,10000,100000], dtype=float)
Cd_table = np.array([2.20,1.70,1.40,1.20,1.15,1.10,1.12,1.05], dtype=float)

# interpolador: melhor interpolar em log10(Re) x Cd (a escolha é prática)
logRe_table = np.log10(Re_table)
interp_CD = interp1d(logRe_table, Cd_table, kind='linear', fill_value='extrapolate')

# cálculo paramétrico (cada Re tem sua V correspondente)
V_list = Re_list * nu / D          # V = Re * nu / D  (D=1)
Cd_list = interp_CD(np.log10(Re_list))

# força de arrasto total e momento na extremidade
A = D * L
q_pref = 0.5 * rho * A             # multiplicador para V^2 e C_D
F_D_list = q_pref * V_list**2 * Cd_list
M_list = F_D_list * (L/2)

# caso real com V fixa (50 km/h)
V_fixed = 50.0/3.6                  # m/s
Re_fixed = V_fixed * D / nu
Cd_fixed = interp_CD(np.log10(Re_fixed))
F_D_fixed = 0.5 * rho * V_fixed**2 * A * Cd_fixed
M_fixed = F_D_fixed * (L/2)

# imprimir resultados
for Re, V, Cd, Fd, M in zip(Re_list, V_list, Cd_list, F_D_list, M_list):
    print(f"Re={Re:.0f}, V={V:.6f} m/s, Cd={Cd:.3f}, F_D={Fd:.6e} N, M_ext={M:.6e} N.m")
print("----- caso real V=50 km/h -----")
print(f"V={V_fixed:.6f} m/s, Re={Re_fixed:.2e}, Cd={Cd_fixed:.3f}, F_D={F_D_fixed:.3f} N, M_ext={M_fixed:.3f} N.m")

# gráficos
plt.figure()
plt.loglog(Re_list, F_D_list, 'o-')
plt.xlabel('Re')
plt.ylabel('F_D (N)')
plt.grid(True, which='both')
plt.title('Re x F_D')

plt.figure()
plt.semilogx(Re_table, Cd_table, 'o-', label='dados')
# plotar interpolação suave
Re_fine = np.logspace(np.log10(Re_table[0]), np.log10(Re_table[-1]), 200)
plt.semilogx(Re_fine, interp_CD(np.log10(Re_fine)), '--', label='interp.')
plt.xlabel('Re')
plt.ylabel('C_D')
plt.grid(True, which='both')
plt.title('Re x C_D')
plt.legend()

plt.show()
  • Comentários sobre o código (como usá-lo na prova/TP):
    • Troque a tabela de C_D pelos valores do gráfico experimental que o professor fornecer; o resto do código permanece o mesmo.
    • O código calcula um caso paramétrico (cada Re gera uma V) e também o caso prático com V=50\\ \mathrm{km/h}.
    • Os gráficos gerados: (i) Re vs F_D em escala log-log; (ii) Re vs C_D em escala semilog.

Passo 6

Cálculos numéricos (aplicando as fórmulas e a tabela de C_D). Vou apresentar os cálculos principais passo a passo e os resultados numéricos (valores arredondados com 3 algarismos significativos quando faz sentido).
  • Parâmetros úteis:
    • \nu=\dfrac{\mu}{\rho}=1{,}4553\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
    • Área projetada: A=D\cdot L=1\cdot25=25\\ \mathrm{m^2}.
    • Prefator para V^2C_D: \dfrac{1}{2}\rho A = \dfrac{1}{2}\cdot1{,}23\cdot25=15{,}375.
    • Logo,
F_D = 15{,}375\; V^2\; C_D\quad(\text{com }V\\ \text{em m/s}).
  • Para cada Re da lista eu uso V=Re\;\nu, C_D pela tabela/interpolação e a fórmula acima.
  • Resultados numéricos (paramétrico: cada Re gera sua V) — resultados apresentados com notação conveniente:
    • \,Re=40: V=40\cdot\nu=40\cdot1{,}4553\times10^{-5}=5{,}821\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s},
C_D\approx2{,}20,\quad F_D\approx1{,}15\times10^{-5}\\ \mathrm{N},\quad M_{\text{ext}}=F_D\cdot\frac{L}{2}\approx1{,}43\times10^{-4}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • \,Re=100: V=1{,}4553\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s},\quad C_D\approx1{,}70,
F_D\approx5{,}54\times10^{-5}\\ \mathrm{N},\quad M_{\text{ext}}\approx6{,}92\times10^{-4}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • \,Re=200: V=2{,}9106\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s},\quad C_D\approx1{,}40,
F_D\approx1{,}82\times10^{-4}\\ \mathrm{N},\quad M_{\text{ext}}\approx2{,}28\times10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • \,Re=500: V=7{,}2764\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s},\quad C_D\approx1{,}20,
F_D\approx9{,}77\times10^{-4}\\ \mathrm{N},\quad M_{\text{ext}}\approx1{,}22\times10^{-2}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • \,Re=1000: V=1{,}4553\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s},\quad C_D\approx1{,}15,
F_D\approx3{,}75\times10^{-3}\\ \mathrm{N},\quad M_{\text{ext}}\approx4{,}68\times10^{-2}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • \,Re=5000: V=7{,}2764\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s},\quad C_D\approx1{,}10,
F_D\approx8{,}96\times10^{-2}\\ \mathrm{N},\quad M_{\text{ext}}\approx1{,}12\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • \,Re=10000: V=1{,}4553\times10^{-1}\\ \mathrm{m/s},\quad C_D\approx1{,}12,
F_D\approx3{,}65\times10^{-1}\\ \mathrm{N},\quad M_{\text{ext}}\approx4{,}56\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • \,Re=100000: V=1{,}4553\\ \mathrm{m/s},\quad C_D\approx1{,}05,
F_D\approx3{,}42\times10^{1}\\ \mathrm{N},\quad M_{\text{ext}}\approx4{,}27\times10^{2}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Cálculo do caso real com V_{\text{fixa}}=50\\ \mathrm{km/h}=13{,}8889\\ \mathrm{m/s}:
    • Re_{\text{real}}=\dfrac{V_{\text{fixa}}D}{\nu}=\dfrac{13{,}8889\cdot1}{1{,}4553\times10^{-5}}\approx9{,}55\times10^{5}.
    • Interpolando (pela tabela usada) obtemos C_D\approx1{,}03 (valor aproximado; o valor exato depende do gráfico experimental exato).
    • A pressão dinâmica é \tfrac{1}{2}\rho V^2\approx118{,}04\\ \mathrm{Pa}. Então F_D=\frac{1}{2}\rho V^2 A C_D \approx 3{,}04\times10^{3}\\ \mathrm{N},
M_{\text{ext}} = F_D\cdot\frac{L}{2}\approx3{,}80\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Interpretação prática: esse é o valor que interessa para o caso real do vento de 50\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Como usar esse desenvolvimento na prova (dicas finais e como justificar passos)
  • Sempre escreva claramente:
    1. Calcule \nu=\mu/\rho.
    2. Se o enunciado der um Re e pedir F_D, transforme para V=Re\,\nu/D (ou, se der V, calcule Re e retire C_D do gráfico).
    3. Leia C_D no gráfico (ou use tabela/interpolação).
    4. Aplique F_D=\tfrac{1}{2}\rho V^2 A C_D.
    5. Para o momento nas extremidades no modelo em que a resultante atua no meio do tubo: M=F_D\cdot L/2.
  • Se precisar de aproximação numérica no caderno, mantenha notação e unidades consistentes e apresente cálculos intermediários (por exemplo, exiba V para cada Re antes de calcular F_D).
  • Se o gráfico experimental for fornecido na prova, cite-o explicitamente e use valores lidos com boa precisão; se não for, explique que adotou uma tabela experimental típica.

Resposta

Re=40, V=5,82\times10^{-4}\ \mathrm{m/s}, C_D=2{,}20, F_D=1{,}15\times10^{-5}\ \mathrm{N}, M_{ext}=1{,}43\times10^{-4}\ \mathrm{N\cdot m}
Re=100, V=1{,}455\times10^{-3}\ \mathrm{m/s}, C_D=1{,}70, F_D=5{,}54\times10^{-5}\ \mathrm{N}, M_{ext}=6{,}92\times10^{-4}\ \mathrm{N\cdot m}
Re=200, V=2{,}911\times10^{-3}\ \mathrm{m/s}, C_D=1{,}40, F_D=1{,}82\times10^{-4}\ \mathrm{N}, M_{ext}=2{,}28\times10^{-3}\ \mathrm{N\cdot m}
Re=500, V=7{,}276\times10^{-3}\ \mathrm{m/s}, C_D=1{,}20, F_D=9{,}77\times10^{-4}\ \mathrm{N}, M_{ext}=1{,}22\times10^{-2}\ \mathrm{N\cdot m}
Re=1000, V=1{,}455\times10^{-2}\ \mathrm{m/s}, C_D=1{,}15, F_D=3{,}75\times10^{-3}\ \mathrm{N}, M_{ext}=4{,}68\times10^{-2}\ \mathrm{N\cdot m}
Re=5000, V=7{,}276\times10^{-2}\ \mathrm{m/s}, C_D=1{,}10, F_D=8{,}96\times10^{-2}\ \mathrm{N}, M_{ext}=1{,}12\ \mathrm{N\cdot m}
Re=10000, V=1{,}455\times10^{-1}\ \mathrm{m/s}, C_D=1{,}12, F_D=3{,}65\times10^{-1}\ \mathrm{N}, M_{ext}=4{,}56\ \mathrm{N\cdot m}
Re=100000, V=1{,}455\ \mathrm{m/s}, C_D=1{,}05, F_D=3{,}42\times10^{1}\ \mathrm{N}, M_{ext}=4{,}27\times10^{2}\ \mathrm{N\cdot m}
Caso real (V=50\ \mathrm{km/h}=13{,}8889\ \mathrm{m/s}): Re\approx9{,}55\times10^{5}, C_D\approx1{,}03 (interpolado), F_D\approx3{,}04\times10^{3}\ \mathrm{N}, M_{ext}\approx3{,}80\times10^{4}\ \mathrm{N\cdot m}.

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