Uma águia voa segundo a trajetória Q(t)=(t^wed>= 2-t+1, t^wed>= 3-t+2, sin pi t)
Sobre o retorno da águia a um mesmo ponto é correto afirmar que:
Escolha uma opção:
a.
Nenhum ponto é visitado mais de uma vez pela águia.
b.
Existem dois pontos, cada um sendo visitado pela aqui exatamente duas vezes
c.
Existe um único ponto que é visitado por ela exatamente duas vezes
d.
Existem infinitos pelos quais a águia passa pelo menos duas vezes em cada um.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória da águia por meio do vetor de funções Q(t)=(t^2 - t + 1, t^3 - t + 2, sin(pi t)) e a questão é determinar se existem instantes t1 neq t2 tais que Q(t1)=Q(t2). Vamos usar conceitos de curvas paramétricas e equacionar coordenada a coordenada.

Passo 2

Para que Q(t1)=Q(t2) precisamos simultaneamente de
t1^2 - t1 + 1 = t2^2 - t2 + 1, t1^3 - t1 + 2 = t2^3 - t2 + 2, sin(pi t1)=sin(pi t2)

Passo 3

Da terceira igualdade, como sin(pi t) tem período 2 e é simétrico em “1–t”, obtemos as duas famílias de soluções:
t2 = t1 + 2k, t2 = 1 - t1 + 2k, kinZ

Passo 4

Na primeira família t2=t1+2k ( kneq0) não conseguimos satisfazer x(t1)=x(t2) e y(t1)=y(t2) simultaneamente, exceto para k=0 (caso trivial t2=t1).
Na segunda família com k=0, temos t2=1-t1. A igualdade em x acontece para todo t1, mas a igualdade em y reduz a -2t1^3+3t1^2 - t1=0, cujas raízes são t1=0,tfrac12,1. Dessas, apenas t1=0 e t2=1 (e o par simétrico) dão t1neq t2. Logo há exatamente um ponto de retorno não-trivial.

Passo 5

Concluímos que existe um único ponto na trajetória — especificamente Q(0)=Q(1)=(1,2,0) — que a águia visita exatamente duas vezes.

Resposta

Existe um único ponto que é visitado por ela exatamente duas vezes.

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