Calcule as integrais indefinidas abaixo:
(6) integral e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: integral e^2x , dx. Aqui, estamos lidando com integração de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra básica de integração de funções exponenciais que envolve uma substituição simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = 2x. Isso ajuda porque a derivada de u em relação a x é constante.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de u em relação a x:
dudx = 2 implies du = 2 , dx implies dx = du2

Passo 4

Substituindo u e dx na integral original, temos:
integral e^2x , dx = integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u , du

Passo 5

A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u. Então, continuando:
12 integral e^u , du = 12 e^u + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos voltar para a variável original substituindo u = 2x:
12 e^u + C = 12 e^2x + C

Resposta

integral e^2x , dx = 12 e^2x + C

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