Derive as seguintes funções:
(5) f(x)=integralSen(x)^1 raizt^2+1 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que derivar a função $ f(x) = \int_{\sin(x)}^{1} \sqrt{t^{2}+1} , dt $. Isso envolve cálculo de derivadas e integrais, especificamente a regra de diferenciação de integrais com limites dependentes de $ x $.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da regra de Leibniz para derivar uma função que é definida por uma integral com limites que dependem de $ x $. A regra diz que:
x

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função $ f(x) $, identificamos:
  • $ a(x) = \sin(x) $ e $ b(x) = 1 $
  • $ g(t) = \sqrt{t^{2} + 1} $

Passo 4

Vamos calcular as derivadas dos limites:
  • $ b’(x) = \frac{d}{dx}(1) = 0 $ (já que 1 é constante)
  • $ a’(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) $

Passo 5

Agora, aplicando a regra de Leibniz:
f'(x) = g(1) cdot 0 - g(sin(x)) cdot cos(x)
Simplificando:
f'(x) = 0 - raizsin^2(x) + 1 cdot cos(x)

Passo 6

Portanto, a derivada da função $ f(x) $ é:
f(x)

Resposta

A derivada da função é $ f’(x) = -\cos(x) \cdot \sqrt{\sin^{2}(x) + 1} $.

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