Derive as seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que derivar a função $ f(x) = \int_{\sin(x)}^{1} \sqrt{t^{2}+1} , dt $. Isso envolve cálculo de derivadas e integrais, especificamente a regra de diferenciação de integrais com limites dependentes de $ x $.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da regra de Leibniz para derivar uma função que é definida por uma integral com limites que dependem de $ x $. A regra diz que:
Passo 3
Aplicando essa regra à nossa função $ f(x) $, identificamos:
- $ a(x) = \sin(x) $ e $ b(x) = 1 $
- $ g(t) = \sqrt{t^{2} + 1} $
Passo 4
Vamos calcular as derivadas dos limites:
- $ b’(x) = \frac{d}{dx}(1) = 0 $ (já que 1 é constante)
- $ a’(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) $
Passo 5
Agora, aplicando a regra de Leibniz:
Simplificando:
Passo 6
Portanto, a derivada da função $ f(x) $ é:
Resposta
A derivada da função é $ f’(x) = -\cos(x) \cdot \sqrt{\sin^{2}(x) + 1} $.